محاضرة 7

ب- إحصاء فيرمي- ديراك

يطبق هذا الاحصاء على الجسيمات التي عددها الكمي البرمي يساوي مضاعفات فردية لل أي ان :-

وتسمى هذه الجسيمات بالفرميونات وهذه الجسيمات مثل الالكترونات و البروتونات و النيوترونات و تخضع هذه الجسيمات لمبدأ الاستبعاد لباولي، حيث لايوجد جسيمان في المنظومة بنفس الحالة الكمية أي ان الحالة الكمية تشغل بجسيم واحد فقط.
و لأستنتاج توزيع أو احصاء فيرمي-ديراك لنأخذ فيرميونات متماثلة كالالكترونات عددها N و تتواجد في وعاء مغلق حجمه ثابت V و معزول حراريا عن المحيط و في حالة اتزان. و لنأخذ احد مستويات هذه المنظومة الذي طاقته Ei ويحتوي على Ni من الجسيمات و على gi من الحالات.





و لنحسب عدد التوزيعات الممكنة لهذه الجسيمات


الجسيم عدد الحالات
الاول gi
الثاني gi-1
الثالث gi-2
الاخير (Ni) gi-Ni+1

و يكون عدد التوزيعات لهذه الجسيمات هو:-


و بضرب المعادلة الاخيرة بالمقدار نحصل على:-

هذا في حالة الجسيمات المتميزة اما في حالة الجسيمات المتماثلة فيجب ان نقسم على (Ni)! :-

و بذلك يكون عدد التوزيعات لجميع جسيمات المنظومة هو:-

و بما ان الاحتمالية الثرموديناميكية تاخذ القيمة العظمى في حالة الاتزان و عندها يكون:-





و لما كانت المتغيرات (dNi) ليست جميعها متغيرات مستقلة لذلك لايمكن القول ان معاملاتها تساوي صفر و لهذا سنستخدم طريقة لاكرانج للمعاملات المضاعفة:-

و بما ان النظام معزول حراريا فان:-

و بجمع المعادلات (3و4و5) نحصل على:-

و باختيار مناسب لقيم ?و? يمكن جعل المقدار بين القوسين يساوي صفر





و المعادلة (6) تمثل احصاء فيرمي- ديراك
يمكن كتابة المقدار (?Ei-?) بالشكل :-


حيث ان EF تسمى طاقة فيرمي و
و بذلك ستصبح المعادلة (6) كما يلي:-


و يمكن توضيح المعنى الفيزياوي لطاقة فيرمي كما يلي:-
بقسمة المعادلة (7) على gi نحصل علىك-

و المعنى الفيزياوي لدالة فيرمي هو عدد الجسيمات التي تشغل الحالة الواحدة و بذلك تكون دالة فيرمي اصغر أو تساوي واحد:-


















حيث ان طاقة فيرمي هي الحد الفاصل بين المستويات المملوءة التي تكون اقل منها و المستويات الفارغة و التي تكون اعلى منها عند الصفر المطلق.



و يمكن حساب طاقة فيرمي كما يلي:-
عندما تكون مستويات الطاقة متقاربة جدا فيمكن كتابة المعادلة (7) كما يلي:-

و يمكن كتابة dg بدلالة الطاقة كما يلي :-

و بما ان الطاقة الحركية تساوي و بالتعويض نحصل على:-
للألكترونات
ضربت المعادلة اعلاه في 2 و ذلك لأنه في حالة الالكترونات فان هنالك اتجاهين للبرم و و لهذا فان عدد الحالات يتضاعف.
اذن المعادلة (9) تصبح:-


Or


حيث ان F(E) تساوي واحد من ( 0 الى EF )


و باعادة الترتيب فان :-
At Zero K
حيث الكثافة العددية
درجة حرارة فيرمي