احصاء 4

حساب الثوابت ?و?:-
أ‌- حساب الثابت ?:-

بجمع طرفي المعادلة (9) لجميع قيم (i) نحصل على:-

Or


or -------(10)
و من المعادلتين (10) و(9) نحصل على:-

-------------(11)

Where Partition function
و تسمى دالة التقسيم أو دالة الحجز

ب‌- حساب الثابت ?:-
يمكن حساب الثابت ? باستخدام عدة خطوات:-
1- إيجاد العلاقة بين الانتروبي (S) و الاحتمالية الثرموديناميكية (?)



يبين علم الثرموديناميك ان الانتروبي تصبح عند
قيمتها العظمى في حالة الاتزان و كذلك فان الاحتمالية
الثرموديناميكية (?) تأخذ قيمتها العظمى عند وضع
الاتزان يتبن من ذلك وجود علاقة بين (S) و(?) و نريد
إيجاد هذه العلاقة:-






فإذا كانت (SAB) تمثل الانتروبي في المنظومة ككل و (?AB) تمثل الاحتمالية الثرموديناميكية للنظام ككل أيضا . فحسب معلوماتنا في الثرموديناميك بالنسبة ل(S) و الإحصاء بالنسبة إلى (?) يكون:-

------------- (1)

------------- (2)
وبإيجاد لوغاريتم طرفي المعادلة (2) نحصل على:-
----(3)
وبضرب طرفي المعادلة (3) بالثابت
------ (4)
و بمقارنة المعادلتين (1) و (4) يمكن ان نحصل على :-
------------ (5)

ونحسب قيمة الثابت من المعادلة (4) كما يلي:-













حسب الميكانيك الكلاسيكي فان حالة الجسيم تتحدد بمعرفة ستة متغيرات و هي (X,Y,Z,Px,Py,Pz) و علية فان نسبة عدد الحالات المتوفرة لجزيئة الغاز قبل التمدد و بعد التمدد هي كنسبة ويكون عدد الحالات المتوفرة لكل جزيئات الغاز قبل و بعد التمدد هي وهذا يساوي:-
=

وبإيجاد لوغارتم الطرفين نحصل على:-

وبضرب طرفي المعادلة الأخيرة ب نحصل على :-

وباستخدام المعادلة(5) نحصل على:-


و من تفاضل المعادلة الأخيرة بالنسبة للحجم و بثبوت درجة الحرارة نحصل على:-

------------(6)
ولدينا من القانون الأول للثرموديناميك و لنظام مقفل أن:-

و لدينا من العلاقة :-


-----------(7)
وبثبوت درجة الحرارة نحصل على :-
T= constant

Where U=U(T)
وبإعادة ترتيب المعادلة:-
--------------(8)
و من المعادلتين (6) و (8) نحصل على
------------(A)
ولدينا من معادلة الحالة للغازات :-
------------(B)
حيث عدد المولات
Boltzman constant
وبذلك نحصل على :-
----------------(C)
و المعادلة (C) تمثل التفسير الإحصائي للأنتروبي.
المعادلة (7) بثبوت الحجم تصبح
V=constant

--------------- (D)

2- لنأخذ غاز أحادي الذرة موجود في وعاء مغلق حجمه ثابت و تعطى الاحتمالية الثرموديناميكية بالعلاقة التالية:-

و بإيجاد لوغاريتم الطرفين نحصل على :-


وباستخدام المعادلة (C) تصبح المعادلة الأخيرة:-

و من تفاضل المعادلة الأخيرة (Ni هو المتغير فقط) فنحصل على:-

Or
i ----------- (E)
و لدينا من إحصاء ماكسويل بولتزمان :-

و بتعويض هذه المعادلة بالمعادلة (E) نحصل على:-









إذن إحصاء ماكسويل بولتزمان سيأخذ الشكل التالي:-



Where