احصاء 3

الاتزان الإحصائي:-








لنأخذ على سبيل المثال معدنين A,B على تماس حراري بينهما و معزولين عن المحيط و كانت درجة حرارة A أعلى من درجة حرارة B وكما هو معروف فأن الحرارة سوف تنتقل من A الأكثر سخونة إلى B و بذلك تنخفض حرارة A وترتفع حرارة B إلى أن تصبح درجة حرارتهما متساوية و عندها تثبت درجة الحرارة لكلا الجسمين عند هذه القيمة و لاتتغير مع الزمن و يقال في هذه الحالة أن المنظومة في حالة اتزان حراري أو إحصائي.
و عليه فان حالة التوازن الإحصائي هي الحالة التي تكون عندها احتمالية وقوع حدث ما ثابتة لا تتغير مع الزمن.

الحالات المجهرية و المنظورة:-









Ni عدد الإشغال (الملء)
gi الانحلال (عدد الدوال الموجية التي تعود إلى نفس المستوي)
أ‌- الحالة المنظورة:- تتحدد الحالة المنظورة بمعرفة عدد الجسيمات (Ni) في كل مستوي طاقة و هذا لا يعتمد على كون الجسيمات متميزة أو غير متميزة. فعلى سبيل المثال تتحدد الحالة المنظورة في الشكل المبين أعلاه بأن نقول يوجد أربعة جسيمات في مستوي الطاقة E1 و ثلاثة جسيمات في المستوي E2 و جسيمان في E3 ان هذا الوصف يحدد كما قلنا الحالة المنظورة.
ب‌- الحالة المجهرية:- تعتمد الحالة المجهرية على كون الجسيمات متميزة أو غير متميزة:-
1- الحالة المجهرية للجسيمات غير المتميزة ( المتماثلة):- في هذه الحالة تتحدد الحالة المجهرية بمعرفة عدد الجسيمات في كل حالة لمستويات الطاقة المختلفة. على سبيل المثال تتحدد الحالة المجهرية للجسيمات المتماثلة المبينة في الشكل أعلاه بأن نقول :- في مستوى الطاقة E1 توجد أربعة جسيمات في الحالة رقم واحد (g1) و في مستوى الطاقة E2 يوجد جسيمان في الحالة رقم واحد (g1) و جسيم واحد في الحالة رقم 3 (g3) أما الحالة رقم 2 فهي فارغة. و في مستوى الطاقة E3 يوجد جسيم في كل من الحالتين (g2, g4) أما الحالتان (g1, g3) فهي فارغة و إذا انتقل مثلا الجسيم من الحالة (g4) في مستوى الطاقة E3 إلى الحالة (g3) في نفس المستوي فان هذا يؤدي إلى ظهور حالة مجهرية جديدة لنفس الحالة المنظورة. يتبين من ذلك وجود حالات مجهرية عديدة تعود لنفس الحالة المنظورة. أما إذا تبادل جسمين حالتيهما كأن ينتقل الجسيم من الحالة g4 إلى الحالة g2 و ينتقل الجسيم من الحالة g2 إلى الحال g4 أي يتبادل الجسمان حالتيهما في مستوى الطاقة نفسه فهذا لايؤدي إلى ظهور حالة مجهريه إضافية لان الجسيمين متماثلان.

2- الحالات المجهرية للجسيمات المتميزة (المختلفة) :-











في هذه الحالة تتحدد الحالة المجهرية للمنظومة بمعرفة عدد الجسيمات في كل حالة و من تكون هذه الجسيمات فعلى سبيل المثال فان الحالة المجهرية للجسيمات المتميزة المبينة في الشكل أعلاه تتحدد بأن نقول:- في مستوى الطاقة E1 توجد الجسيمات (a,b,c,d) في الحالة (g1), و في مستوى الطاقة E2 توجد الجسيمات e, f في الحالة g1 و الجسيم g في الحالة g3 أما الحالة g2 فهي فارغة, و في مستوى الطاقة E3 يوجد الجسيم h في الحالة g2 و الجسيم i في الحالة g4 أما الحالتين (g1,g3) فهي فارغة. و هنا أيضا إذا تغيرت حالة جسيم كان ينتقل الجسيم i من الحالة g4 إلى الحالة g3 فهذا يؤدي إلى ظهور حالة مجهريه جديدة. و كذلك إذا تبادل جسيمان حالتيهما مثل الجسيمين i و h فهذا يؤدي أيضا إلى ظهور حالة مجهريه جديدة وذلك لأن الجسيمين غير متماثلين (متميزين) و يتبين هنا أيضا وجود حالات مجهريه جديدة عديدة تعود لنفس الحالة المنظورة.

أولا: الإحصاء الكلاسيكي أو إحصاء ماكسويل بولتزمان:-
ينطبق هذا النوع من الإحصاء على الجسيمات عند إهمال تأثير الكم مثل الغازات عند الضغوط المنخفضة أو الالكترونات عند درجات الحرارة العالية و غيرها. لنأخذ على سبيل المثال ذرات غاز يتواجد في وعاء معزول و حجمه ثابت و مقفل أي لا يوجد تبادل جسيمات أو الطاقة مع المحيط و في حالة توازن حراري.










و لنفرض ان مستويات طاقة المنظومة تتراوح بين E1 إلى Em و لنأخذ على سبيل المثال المستوي الذي طاقته Ei و الذي عدد الجسيمات فيه Ni و يمتلك gi من الحالات وحسب الاحصاء الكلاسيكي فلايوجد تحديد لعدد الجسيمات التي تشغل نفس الحالة. اذن كل جسيم يمكن ان يتواجد في أي حالة من الحالات gi . بذلك يكون عدد التوزيعات الممكنة للجسيمات التي عددها Ni في مستوي الطاقة Ei هو:-

الوزن الاحصائي

هذا في حالة الجسيمات المتميزة. اما اذا كانت الجسيمات متماثلة فيجب ان تقسم على Ni! :-

للجسيمات المتشابهة
وتسمى هذه المعالجة شبه الكلاسيكية حيث أن النتائج تكون خالية من التناقض فيما يتعلق بالأنتروبي. و بذلك يكون عدد التوزيعات لجميع جسيمات المنظومة و لجميع مستويات الطاقة هو ?:-



------------(1)
وبصورة مختصرة تكتب :-
-----------(2)
وتسمى ? :- بالاحتمالية الثرموديناميكية و هي تمثل عدد الحالات المجهرية التي تعود لنفس الحالة المنظورة و عندما تكون قيمة ? كبيرة هذا يعني أن احتمالية تواجد المنظومة في الحالة المنظورة التي تعود لها ? تكون كبيرة أيضا. و تأخذ ? قيمة عظمى في حالة الأتزان. و في هذه الحالة يكون و كما بينا سابقا :-

d Ln ?=0 for ?max

و بإيجاد لوغاريتم طرفي المعادلة (2) نحصل على:-





For ?max

Or ---------(3)
ولما كانت المتغيرات (dNi) ليست جميعها متغيرات مستقلة كما سنبين لاحقا و لذلك لايمكن القول بان معاملاتها تساوي صفر. و تخضع المتغيرات (dNi) للشرطين أو القيدين التاليين:-

أولا- بما أن المنظومة مقفلة فان عدد الجسيمات الكلي (N) يكون ثابت أي أن :-

و من التفاضل نحصل على :-
----------(4)
ثانيا- لما كانت المنظومة معزولة حراريا فان الطاقة الداخلية للمنظومة (U) تكون ثابتة أي أن:-

----------(5)
وبضرب طرفي المعادلة (4) بالثابت (?) و المعادلة (5) بالثابت (-?) فنحصل على

-----------(6)
-----------(7)
وبجمع طرفي المعادلات (3و6و7) نحصل على:-
-----------(8)
و بأختيار مناسب لقيم ?,? يمكن جعل معاملات المتغيرات dNi تساوي صفر أي أن:-

وتسمى هذه الطريقة التي اتبعناها طريقة لاكرانج للمضاعفات غير المحددة

Or
وبترتيب المعادلة الأخيرة نحصل على:-
-------------(9)
و المعادلة (9) تمثل إحصاء ماكسويل بولتزمان و ينقصه معرفة قيم ? و ?.