lec-22

تطبيقات إحصاء ماكسويل بولتزمان:

استنتاج قانون التوزيع لبولتزمان الحراري:-
لو أخذنا غاز درجة حرارته T وفي حالة اتزان حراري و لنركز على مستويين للطاقة احدهما طاقته Eo و الآخر Ei وعدد الجزيئات في المستوي Eo هو No و درجة انحلاله go¬ و المستوي Ei عدد الجزيئات فيه Ni و درجة انحلاله gi عند تطبيق معادلة ماكسويل بولتزمان بالنسبة للمستوي Eo نحصل على :-
For Eo -----------(I)
For Ei ----------(II)
وبقسمة المعادلة (II) على المعادلة (I) نحصل على:-




وهذا هو الشكل العام لقانون ماكسويل بولتزمان للتوزيع الحراري
وفي حالة خاصة عندما gi=go يصبح القانون بالشكل التالي:-












دالة التقسيم أو دالة بولتزمان الكلاسيكية:-
إن دالة التقسيم توجد فقط في إحصاء ماكسويل بولتزمان الكلاسيكي و لا توجد في إحصاء الكم و هي تعتبر كحلقة وصل أو جسر يربط بين المفاهيم الإحصائية و المفاهيم الثرموديناميكية و يمكن التعبير عن الدوال الثرموديناميكية كالطاقة الداخلية و الانتروبي و الضغط و غيرها بدلالة دالة التقسيم و سنوضح فيما يلي بعض الأمثلة:-
التعبير عن الطاقة الداخلية U بدلالة دالة التقسيم
تعرف U بالعلاقة و باستخدام ماكسويل بولتزمان:-
]|

و بإعادة ترتيب المعادلة :-
---------------(1)
و من تفاضل بالنسبة إلى درجة الحرارة و بثبوت الحجم نحصل على:-


Or -------------(2)
و من المعادلتين (1) و (2) نحصل على :-


Or


كذلك يمكن التعبير عن الانتروبي و ضغط الغاز بدلالة


التفسير الإحصائي للشغل و الحرارة

في حالة الاتزان لعدد كبير من الجسيمات ( N ) الغير متميزة و الشبه مستقلة في حيز صغير مكعب الشكل حجمه V و طول حرفه a فان توزيع الطاقة للجسيمات يمثل بالمعادلة:-



فإذا ثبتنا ni2 و أخذنا لوغاريتم الطرفين لمستوي الطاقة Ei نحصل على:-

و بأخذ المشتقة للطرفين


ولكن


و لدينا للغاز المثالي




أي أن تغير الحجم المسبب للشغل يؤدي إلى تغير قيمة طاقة مستويات الطاقة بدون أن يؤثر على عدد نفوس تلك المستويات.
وبما أن :-

-----------------(2)
و من معادلة (1) و (2) نحصل على:-



أي أن التغيرات الحرارية تؤدي إلى تغيرات في توزيع الجسيمات بين مستويات الطاقة بدون تغير في قيمة طاقة تلك المستويات.


إحصاء التكميم الحديث

أ‌- إحصاء بوز-اينشتاين:-
و يطبق هذا الإحصاء على الجسيمات التي عددها الكمي ألبرمي يساوي أعداد صحيحة (S=0,1,2,3,......) مثل جسيمات ألفا و الهيدروجين الثقيل و الميزونات و يطبق أيضا على الموجات مثل الفوتونات و الفونونات. و تسمى الجسيمات التي تخضع لهذا الإحصاء البوزونات و لا تخضع هذه الجسيمات لمبدأ الاستبعاد لباولي حيث لا يوجد تحديد لعدد البوزونات التي تشغل الحالة الكمية.
و لاشتقاق توزيع أو إحصاء بوز اينشتاين لنأخذ وعاء حجمه ثابت ( V ) مقفل و معزول حراريا عن المحيط و يحتوي على بوزونات مادية و في حالة اتزان. لنأخذ احد مستويات الطاقة و لكن (Ei) و الذي يمتلك حالات عددها (gi) و يوجد فيه (Ni) من الجسيمات المادية و كما قلنا سابقا لا يوجد تحديد لعدد الجسيمات التي تشغل نفس الحالة الكمية و حسب طريقة بوز اينشتاين لنتصور مستوى طاقة على شكل رف و لتحديد الحالات نحتاج إلى (gi-1) من الجدران



و بذلك يمكننا تحديد مواقع على مستوى الطاقة عددها يساوي عدد الجسيمات Ni + عدد الجدران (gi-1) . فمثلا لو كان gi=4 و ان عدد الجسيمات (Ni=3) فان عدد المواقع يساوي (3+4-1=6) أي (Ni+gi-1) و يمكن وضع أما جسيمة أو جدار على هذه المواقع و بذلك نحصل على التوزيعات التالية:-

الأول Ni+gi+1
الثاني Ni+gi+2
الثالث Ni+gi+3
.
.
الأخير Ni¬ Ni+gi+Ni
وبذلك يكون عدد التوزيعات لهذه الجسيمات:-


و بالضرب و القسمة على المقدار (gi-1)! نحصل على :-


هذا في حالة البوزونات المتميزة أما في حالة البوزونات المتشابهة أو الغير متميزة فيجب أن نقسم على المقدار (Ni)! وبذلك يكون :-

للجسيمات المتماثلة
و سنفترض أن البوزونات في المنظومة التي ندرسها متماثلة لذلك سنطبق عليها المعادلة (1).
و عندما تكون (Ni,gi >> 1) فيمكن إهمال الرقم 1 في المعادلة (1) و تصبح المعادلة:-


وبذلك يكون عدد التوزيعات لجميع جسيمات المنظومة و لجميع مستويات الطاقة:-



و لما كانت المنظومة في حالة اتزان فان الاحتمالية الثرموديناميكية (?) تكون عند قيمتها العظمى وفي هذه الحالة يكون:-

و بأخذ لوغاريتم طرفي المعادلة (3):-


و للقيمة العظمى:-


و ترتيب المعادلة أعلاه:-

بما أن dNi هي متغيرات غير مستقلة لذلك سنستخدم طريقة لاكرانج للمعاملات المضاعفة.

بالاشتقاق نحصل على:-
* ?

و بما ان النظام معزول فان:-

بالاشتقاق و الضرب في ?- نحصل على:-

من المعادلات (4) و(5) و(6) نحصل على :-


وباختيار مناسب لقيم ?و? تصبح المعادلة:-

وبترتيب المعادلة أعلاه نحصل على:-



و المعادلة (7) تمثل توزيع إحصاء بوز-اينشتاين لبوزونات مادية متماثلة.
أما في حالة البوزونات الموجية كالفوتونات أو الفونونات فبالرغم من أن المنظومة مغلقة ألا أن عدد هذه الموجات N لا يكون ثابت.

و قد استخدمنا في استنتاج المعادلة (7) المعادلة رقم (5)
إذن و من المعادلتين (5) و (8) نحصل على أن ?=0.
إذن و لحالة الموجات فان المعادلة (7) تصبح:-




وهنا أيضا إذن المعادلة (9) تصبح:-


وعندما تكون مستويات الطاقة متقاربة فان المعادلة (10) تكون :-




لدينا


و بالتكامل على xوyوz نحصل على :-

















المعادلة (12) هي للموجات الطولية. أما بالنسبة للموجات المستعرضة فيجب أن تضرب المعادلة (12) في 2 :-

لدينا من معادلة ديبرولي:-


و بالاشتقاق نحصل على :-

بتعويض المعادلة أعلاه في المعادلة (13) نحصل على:-
للموجات الطولية

للموجات المستعرضة (فوتونات) التي
يتراوح ترددها بين f و f+df

إذن و للموجات المستعرضة فان عدد الموجات (الفوتونات) ) التي يتراوح ترددها بين f و f+df:-

حيث dg :- عدد الحالات أو عدد أنماط الاهتزاز