Diffrential equation

Some Mathematical Requirements
الفصل الأول:
الأنظمة الحرآية الخطية المستمرة Linear Continuous Dynamical
Systems
Differential Equations المعادلات التفاضلية
المعادلات التفاضلية هي عبارة عن معادلات جبرية تتكون حدودها من مشتقات لدالة
لمتغير جبري قابلة للتفاضل فمثلا لو آان ) ( = x f tفإن التالي معادلات تفاضلية
للمتغير ) ( = x f t
2
2
3 2
3 2
3 0
5 14 10 0
2 0
dx
tx
dt
d x dx
x
dt dt
d x d x dx
x
dt dt dt
+ + =
+ ? ? =
? ? + + =
وتتميز المعادلات التفاضلية بدرجتها Degreeوخطيتها Linearityوسوف نتطرق
إلى المعادلات من الدرجات الأولى والثانية والخطية. وتحل المعادلات التفاضلية بعدة
طرق نستعرض منها ما يناسب مستوى هذا المقرر.
اولا: المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى الخطية:
وهي على الشكل
2
f t x h t x ( ) , , 0 dx dt + = ( )
حيث , f ( ) t xو ) , ( h t xدوال خطية في tو . x
حل معادلات تحوي متغيرات قابلة للفصل:
إذا آانت آل من ) , f (t xو ) , ( h t xيمكن وضعها الشكل
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
,
,
f t x p t q x
h t x r t s x
= =
أي يكون شكل المعادلة التفاضلية هو
p t q x r t s x ( ) ( ) dx dt + = ( ) ( ) 0
وعلى شرط ان s x ( )? 0لجميع قيم xفي المجال المعطى و p t ( )? 0لجميع قيم t
في المجال المعطى، بقسمة طرفي المعادلة على s x p t ( ) ( ) ? 0نستطيع فصل
المتغيرات آالتالي
( )
( )
( )
q x r t s x p t dx dt + = ( ) 0
ونحصل على الحل بالتكامل المباشر
( )
( )
( )
( )
q x r t
dx dt C
s x p t
? ? + =
حيث Cثابت إختياري يعتمد على الشروط الأولية.
3
مثال:
حل المعادلة التفاضلية التالية
1
0
1
dx x
dt t
?
? =
+
الحل:
نقسم طرفي المعادلة على 1? xعلى شرط أن x ?1فنحصل على
1 1
0, 1
1 1
dx
x
? + x t dt ? = ?
بضرب الطرفين في التفاضل dtوترتيب الحدود نجد
, 1
1 1
dx dt
x
? + x t = ?
المتغيرات الآن اصبحت مفصولة عن بعضها البعض ويمكن أخذ التكامل لكل طرف
, 1
1 1
dx dt
n C x
? ? ? + x t + = ? A
أو
? ? + = + ? A A A n x nC n t x 1 1 , 1
أي
( )( ) 1 1 , 1 ? + = ? x t C x
ونحل للمتغيرالتابع xبدلالة المتغير المستقل t
4
1 , 1
1
C
x x
= ± ? +t
مثال آخر:
حل المعادلة التفاضلية التالية
t x t y dy dt ? ? = ? ( ) 0, 0
الدوال ? = ) ( = ) , , , f (t x t h t x x tهي دوال متجانسة من الدرجة الأولى ) يقال أن
الدالة , ) ( g x yمتجانسة من الدرجة nإذا حققت العلاقة ) ( ( g kx ky k g x y ( ) , , = n
وهذه الحقيقة تساعد في الحل آالتالي:
بتعويض = x stووضع المعادلة على شكل تفاضلات نجد
t s dt t sdt t ds t ( ) ? ? + = ? 1 0, 0 ( )
بترتيب الحدود بالنسبة للمتغير tوالتكامل نجد
ds C t dt , 0
t
? ? = ? + ?
أي
s = ? ? C n t t A , 0
أو بدلالة المتغير x
x t C n t t = ? ? ( A ), 0
5
المعادلة الخطية من الدرجة الأولى:
ولها الشكل العام
dx dt + = P( ) ( ) t x Q t
الحل يعطى بالعلاقة
( ) ( )
x Ce e Q t e dt = + ? ? ? ? ? P t dt P t dt P t dt ? ( ) ( )
حيث الحد الأول يسمى الدالة المكملة Complementary Functionويرمز له xCF
والحد الثاني الحل الخاص Particular Solutionويرمز له xPSأي الحل العام يكون
على الشكل
. x x x = CF PS +
مثال:
حل المعادلة التفاضلية
dx
tx t
dt + =
نوجد الدالة المكملة ) ( P t dt
x Ce CF = ?1 2t2 فنجد أنهاP( ) t t = وذلك بأخذx Ce CF = ??
فنجدQ t t ( ) = حيثx e Q t e dt PS = ?? ? P t dt P t dt ( ) ? ( ) ( ) والحل الخاص
1 1 2 2
2 2 t t 1
General Solution ويكون الحل العامx e te dt PS = ? ? =
6
1 2
x Ce = + ?2t 1
لاحظ ان الحل العام يحوي ثابت إختياري واحد .Cلإيجاد الثابت الإختياري نحتاج إلى
شروط أولية ) Initial Values (IVلتكن x = 0عندما t = 0فبالتعويض نجد
? = ? + 0 1 1 = C Cويكون الحل العام تحت الشروط الأولية . x e = ? 1 ?1 2t2
مثال:
أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية
2
2
2
d x dx 1 t
te
dt ? = t dt
المعادلة تبدو من الدرجة الثانية ولكن بوضع y dx
= dtنجد
dy 1 2t
y te
dt ? = t
وهي من الدرجة الأولى في . yيترك حلها آتمرين للطالب.
7
المعادلات التفاضلية من الدرجات العليا: Higher Order Differential
Equations
أولا: المعادلات الخطية بمعاملات ثابتة Linear Equations with Constant
Homogeneous Case الحالة المتجانسةCoefficients
وهي على الشكل
( )
1
1 1
n n
n n n
d x d x
a a x f t
dt dt
? ?
+ + + = "
سوف نستخدم ترميز خاص لتبسيط شكل المعادلة هو x dx
=  وdt
2
2
d x
x
dt
= وبشكل عام
( ) n n
n
d x
x
= dtفتصبح المعادلة السابقة على الشكل
x a x a x f t ( ) n + + + = 1 ? ? ? ? ? ? n?1 " n ( )
وتسمى معادلات تفاضلية بمعاملات خطية ثابتة، حيث
a a a 1 2 , ,..., nثوابت )غالبا
ماتكون حقيقية.( سوف ندرس اولا الشكل المتجانس لهذه المعادلات والتي يكون فيها
f t ( ) = 0أي المعادلات على الشكل
( ) 1
x a x a x n + + + = 1 ? ? ? ? ? ? n? " n 0
لحل هذه المعادلات نجرب الحل x Ce = ?tحيث e?t ? 0ولثابت إختياري ،C
بالتعويض في المعادلة السابقة ينتج
8
( ) ? ? n n t + + + = a a e 1 ?1 " n ? 0
Characteristic تسمى آثيرة الحدود المميزةP(?) ? ? ? n n + + + a a 1 ?1 " n
.Polynomialقيم ?المسموح بها هي حلول )أو جذور أو أصفار( المعادلة
P a a (?) ? ? ? n n + + + = 1 ?1 " n 0والتي تسمى المعادلة المساعدة Auxiliary
Equationوحيث أن ) P(?هي آثيرة حدود من الدرجة nفإن P( ) ? = 0لها n
من الجذور
?1 2 , ,..., ? ?nوإذا آانت a a a 1 2 , ,..., nحقيقية فإن هذه الجذور إما ان تكون
حقيقية او ازواج من الأعداد المرآبة المتقارنة . Complex Conjugatesآل من
التعابير ,..., x C e i n i i = = ?it, 1,2هو حل للمعادلة التفاضلية لثابت إختياري Ci
ويكون
1 2
1 2
t t nt
x C e C e C e = + + + ? ? " n ?
أيضا حلا ويسمي الدالة المكملة Complementary Functionوفي حالة المعادلات
المتجانسة يكون الحل العام هو الدالة المكملة.
مثال:
حل المعادلة التفاضلية = +   x x x +3 2 0
الحل:
9
المعادلة المساعدة P(?)?? ? 2 + + 3 2وجذور P( ) ? = 0هي
?1 2 =? =? 1, 2 ?ويكون الحل العام
2
1 2
x C e C e = + ? ? t t
بثابتين إختياريين يحددان من الشروط الأولية.
حالة تكرار الجذر : Repeated Roots
إذا تكرر جذر مثلا
? =?1عدد rمن المرات فإن الحلول المرتبطة بهذا الجذر هي
1 1 1 1 2 1
, , ,...,
t t t t
? e te t e t e ? ? ? r?
مثال:
حل المعادلة التفاضلية = + +    x x x x + 4 5 2 0
10
الحل:
المعادلة المساعدة ) ( P( ) ? ? ? ? ? ? = + + + = + + 3 2 4 5 2 1 2 ( )2وجذور
P( ) ? = 0هي ?1 2 3 = ? =? =? 1, 1, 2 ? ?الجذر ?1مكرر مرتين فيكون الحل
العام
2
1 2 3
x C e C te C e = + + ? ? ? t t t
أوجد قيم الثوابت الإختيارية للشروط الأولية   x x x = = = 1, 0, 1عندما t = 0
من الحل العام نوجد عن طريق التفاضل
( )
( )
2
1 2 3
2
1 2 3
1 2
2 4
t t t
t t t
x C e C t e C e
x C e C t e C e
? ? ?
? ? ?
=? + ? ?
= ? ? +


وبالتعويض بالقيم الأولية نجد
1 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0
2 4 1
C C
C C C
C C C
+ =
? + ? =
? + =
والتي لها الحلول C C C 1 2 3 =? = = 1, 3, 2وبالتعويض نحصل على الحل الخاص
x t e e = ? + ( ) 3 1 2 ? ? t t 2

11
ثانيا: المعادلات الخطية بمعاملات ثابتة Linear Equations with Constant
: Inhomogeneous Case الحالة غير المتجانسةCoefficients
الحل العام للمعادلات غير المتجانسة
x a x a x f t ( ) n + + + = 1 ? ? ? ? ? ? n?1 " n ( )
هو على الشكل
Complementary يسمى الدالة المكملةxCF حيثx x x = CF PS +
وFunction
.Particular Solution يسمى الحل الخاصxPS
لقد رأينا في الفقرة السابقة آيفية إيجاد الدالة المكملة، وسوف نستعرض الآن إيجاد الحل
الخاص.
طرق إيجاد الحل الخاص:
طريقة العامل : D
تعريف: عامل التفاضل Dويعرف بالعلاقة D d
? dtفمثلا
2
2
2
d
D
dt
? و
n
n
n
d
D
. ? dt
نعرف عامل آثيرة الحدود Polynomial Operator
بالعلاقةP( D D a D a ) ? n n + + + 1 ?1 " n
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1
1
n n
n
n
n
n
P D f t D a D a f t
f t a f t a f t
? ?
? ?
? ?
?
?
? + + +
= + + +
"
"
12
حيث f ( ) tدالة قابلة للتفاضل nمرة )لاحظ أن الحد anهو a D n 0و
) ( = ) ( D x t x t 0أي عامل تفاضل الوحدة.(
مثال:
ضع المعادلة التفاضلية التالية على شكل عامل التفاضل D
2
2 3 2
3 2
t
t
d x dx
x te
dt dt
x x x te
?
?
? + =
  ? + =
الحل:
( )
2 2
3 2
3 2
t
t
D x Dx x te
D D x te
?
?
? + =
? + =
P D D D ( )? 2 ? + 3 2 هنا
خواص عامل التفاضل : D
إذا آان آل من ) ( ,) f (x g xدوال قابلة للتفاضل وآان , , P( ) ( ) ( ) D Q D R Dعمال
آثيرات حدود فإن عمال آثيرات الحدود لها الخواص التالية
13
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2 3 4 5 6 7 8
r r
P D Q D f x P D f x Q D f x
P D Q D f x P D Q D f x
D aD f x aD f x
P D f x g x P D f x g x f x
P D Q D Q D P D
P D Q D R D P D Q D R D
P D Q D R D P D Q D P D R D
D Q D DQ D Q D ? ?
+
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
+ = +
=
?
+ ? +
+ ? +
?
+ ? +
? ? ?

14
The Factorization Theorem نظرية التحليل لعوامل
لنفترض أن آثيرة الحدود 1
1
n n
? + a a ? ? + + " nلها عوامل
( عندئذ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 ), ,..., ( ) ( ) n
D a D a D D D n n + + + ? ? ? ? 1 1 2 ?1 " " n n ( ? )( ? ? ) ( )
لاحظ ان الطرف الأيمن يمكن ان يستبدل بأي تباديل Permutaionله.
مثال:
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
5 6 cos
5 6 cos
2 3 cos
3 2 cos
x x x t
D D x t
D D x t
D D x t
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
 
مثال: الجذور المنفصلة Distinct Roots
لننظر الى المعادلة العامة من الدرجة الثانية في شكل عواملها
(D D x ? ? = ? ?1 2 1 2 )( ? ? ? ) 0,
عوض = ) (D x u ??2في العلاقة السابقة فتصبح
(D u ? = ?1) 0
أو
15
du 1u 0
dt ? = ?
وهي معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الأولى في uولها الحل
1
1
t
u C e = ?
وبالتعويض عن = ) (D x u ??2نجد
( ) 1
1
2 1
2 1
t
t
D x C e
dx
x C e
dt
? ?
?
?
? =
? =
وهي معادلة تفاضلية غيرمتجانسة من الدرجة الأولى في xوعلى الشكل
dx dt + = P( ) ( ) t x Q t
وحلها هو
x Ce e Q t e dt = + ? ? ? ? ? P t dt P t dt P t dt ( ) ( ) ? ( ) ( )
حيث P t ( ) = ??2و Q t C e ( ) = 1 ?1tويكون الحل )تترك التفاصيل آتمرين للطلاب(
( )
1 2
1 2
1
2
1 2
1 2
t t
t t
C
x e C e
x C e C e
? ?
? ?
? ?
= +
?
= + ?
مثال: الجذور المكررة Repeated Roots
لنعتبر المعادلة المتجانسة من الدرجة الثالثة
16
(D D x ? ? = ? ? 1 2 )2 ( ) 0
بتبديل العوامل ووضع = (D x u ??1)2ينتج (D u ? = ?2) 0والتي حلها
2
1
t
u C e = ?ويصبح
(D x C e ? = ?1 1 )2 ?2t
وبكتابة = ) (D x v ??1تصبح المعادلة السابقة
(D v C e ? = ?1 1 ) ?2t
والتي لها الحل
2 1
1 2
t t
v C e C e = + ? ? ?
واخيرا
(D x C e C e ? = + ?1 1 2 ) ? ?2 1 t t ?
ومنها نحصل على
x C e C x C e = + + 1 2 3 ?? ?2 1 t t ( ) ?
ملاحظة: على الطالب إآمال التفاصيل للحل.
مثال: الجذور المرآبة المتقارنة Complex Conjugate Roots
17
في حالة وجود جذر مرآب للمعادلة P(?)= 0التي لها معاملات حقيقية على الشكل
? = + µ ? iفإننا نعرف ان هناك جذر آخر على الشكل ? = ? µ ? iويكون شكل الحل
الخاص
eµt ? ? ? ? ? ? C t C t 1 2 cos sin ( ) ( ) ? + ?
وفي حالة تعددية الجذور mمرة فإن الحل الخاص يكون له الشكل
e P t t Q t t µt ? ? ? ? ? ? m m ? ? 1 1 ( ) ( ) cos sin ? + ( ) (? )
حيث Pm?1( ) tو ) ( Q t m?1آثيرات حدود في tمن الدرجة m?1ولها ثوابت
إختيارية وتضاف هذه الحدود إلى الحدود الأخري التي تنتج من جذور حقيقية للمعادلة
P( ) ? = 0لكي تعطي الدالة المكملة . xCF
مثال:
لننظر إلى المعادلة
( ) D D D D D x 5 4 3 2 ? + ? + ? = 5 12 16 12 4 0
وفي شكل عوامل
( )( ) ( ) D D i D i x ? ? ? ? + = 1 1 1 0 2 2
العوامل المرآبة المتقارنة µ =1و ? =1لها تعددية . 2الدالة المكملة هي
18
x e C C C t t C C t t CF = + + + + t ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 ( )cos sin ( ) ( 5 ) ( )
آما نلاحظ أن تطبيق العامل Dيبسط حل المعادلات بشكل واضح لإيجاد الدالة المكملة
ولكن قوة العامل Dسوف تتضح اآثر في إيجاد الحل الخاص.
بكتابة معادلة غير متجانسة بالشكل المختصر
P( ) D x f t = ( )
والحل الخاص يعطى بالعلاقة
x P D f t PS = ?1( ) ( )
حيث P?1( ) Dالعامل المعكوس ويفسر آالتالي:
ليكن
dx
x t
 = = dt
أو
Dx t =
بالحل للمتغير xنجد
1 2 1
x D t t C = = + ? 2
أي D?1تمثل التكامل مرة واحدة. وآذلك
D x t 2 =
19
بإيجاد المعكوس نجد
x D t D D t = = ? ? ? 2 1 1 ( )
وبالتكامل المتكرر نجد
2 1 2 3
1 1 2
1 1
x D t D t C t C t C ? ? ? ? ? ? ? ? 2 6
? ?
= = + = + +
أي أن D?rتعني التكامل المتكرر rمرة.
بما أن P( ) Dآثيرة حدود في Dفإن ) P?1(Dتكون آثيرة حدود في D?1وتكون
معكوس P( ) Dأي
P D P D ?1( ) ( ) ?1
إذا إيجاد الحل الخاص هو ببساطة تطبيق معكوس P( ) Dعلى f ( ) tأي
) ( ) ( x P D f t PS = ?1على أن تكون ) f (tقابلة للتكامل.
تعريف: العامل المعكوس Inverse Operator
تأثير العامل المعكوس (D??)?1والذي يعمل على دالة f ( ) tيعطي بالعلاقة
( ) D f t e f t e dt ? = ? ?1 ( ) ( ) ? ? t t ? ?
مثال:
أوجد الحل الخاص للمعادلة
20
( )( ) D D x e ? ? = 1 2 t
العامل المعكوس هو ?) ( (D D ? ? 2 1 )?1 1ويكون
x D D e = ? ? ( ) ( ) 2 1 ? ? 1 1 t
بتطبيق التعريف السابق علي (D e ?1)?1 tينتج
( ) D e te ? = 1 ?1 t t
ثم تطبق التعريف على (D te ?2)?1 tينتج
x t e PS =? + ( ) 1 t
وهو المطلوب.
مثال آخر:
أوجد الحل الخاص للمعادلة
( ) D D x e 2 ? + = 2 2 t
الحل:
بوضع المعادلة على شكل عوامل
( )( ) D i D i x e ? ? ? + = 1 1