مقدمة في علم الميكانيك

الفصل الاول :- مقدمة
1-1:- ما هو الميكانيك ؟ الميكانيك يمكن ان يعرف بانه العلم الذي يصف ويتنبأ بحالات السكون و الحركة للاجسام تحت تأثير القوى. وهو يقسم الى ثلاثة اقسام :- ميكانيك الاجسام الصلبة, ميكانيك الاجسام القادرة على التحول وميكانيك السوائل (او الموائع). ميكانيك الاجسام الصلبة يقسم الى سكوني و حركي, السابق يتعامل مع الاجسام عند السكون, و الاخير مع الاجسام في حالة الحركة. في هذا القسم من دراسة الميكانيك, الاجسام تفترض انها تكون صلبة بشكل تام. التراكيب الفعلية و المكائن ,مع هذا, هي ليست بشكل مطلق صلبة ولكنها تتحول و تتشوه تحت الاحمال التي تكون خاضعة لها. لكن هذه التشويهات تكون عادة صغيرة ولن تؤثر بشكل يمكن تقديره على حالات التوازن او الحركة التي تكون تحت الدراسة. انها مهمة ,مع ذلك , ما دامت مقاومة التركيب التي سوف تخفق تكون مدروسة في ميكانيك المواد, والتي هي جزء من ميكانيك الاجسام المشوهة. القسم الثالث من الميكانيك, ميكانيك الموائع, يقسم الى دراسة الموائع غير المضغوطة و الموائع المضغوطة. و القسم الفرعي المهم من دراسة الموائع غير المضغوطة هو الهيدروليكي (مدار او محرك بواسطة الماء) والتي تتعامل مع المسائل التي تعالج السوائل.
الميكانيك هو علم فيزياوي, بما انه يتعامل مع دراسة الظواهر الفيزيائية. ومع هذا , فأن البعض يرافق الميكانيك مع الرياضيات, بينما الكثيرون يعتبرونه كموضوع هندسي. كلاً من وجهتي النظر هذه يمكن تبريرها بشكل منفصل. الميكانيك هو الاساس لمعظم العلوم الهندسية وهو في نفس الوقت شرط اساسي لدراستهم. مع ذلك, فانه لايملك التجريبية (الاعتماد على الملاحظة و التجريب) الموجودة في العديد من العلوم الهندسية ؛ وبواسطة التأكيد الذي يضعه الميكانيك على التحليل الاستنتاجي فانه يشبه الرياضيات. ولكن ,مرة اخرى انه ليس علم نقي او غير تطبيقي ؛ فالميكانيك هو علم تطبيقي. ان الغرض من الميكانيك هو التفسير و التنبؤ بالظاهرة الفيزيائية و بهذا يضع الاساس للتطبيقات الهندسية.
1-2:- المبادئ و المفاهيم الاساسية:-
بالرغم من ان دراسة الميكانيك ترجع الى زمن ارسطو (322-384) قبل الميلاد (B.C. ) وارخميدس (212-287 ) قبل الميلاد, فقد كان يجب ان ننتظر الى ان يأتي نيوتن (1727-1642 ) وذلك لكي يجد الصيغة المقنعة لمبادءه الاساسية. هذه المبادئ سوف يتم التعبير عنها فيما بعد بصيغة محورة بواسطة دي المبرت, لاكرانج و هاملتون. ان شرعية هذه القوانين تبقى غير قابلة للتحدي, مع هذا, الى ان وضع انشتاين نظريته للنسبية (1905 )(relativity ), بينما مجالات تطبيق قوانين نيوتن قد تم اليوم تمييزها, فميكانيك نيوتن ما زال لحد الان الاساس لعلوم الهندسة.
المبادئ الاساسية المستخدمة في الميكانيك هي الفضاء, الزمن, الكتلة و القوة . هذه المبادئ او المفاهيم لا يمكن ان تعرف بشكل حقيقي ؛ انها يجب ان تقبل على اساس الخبرة و تستخدم كأطار عقلي و كمرجع لدراستنا الميكانيك.
ان مفهوم الفضاء (الفراغspace ) هو مرافق مع الملاحظة لموقع النقطة P. الموقع الخاص للنقطة P ممكن ان يعرف بواسطة الاطوال الثلاثة المقاسة من نقطة مرجعية معينة, او نقطة الاصل, بواسطة اتجاهات ثلاثة معطاة. هذه الاطوال تعرف كالاحداثيات للنقطة P. لكي نصف حدث ما ,فأنه ليس بكافي ان نبين موقعه في الفراغ, الزمن للحدث يجب ان يكون كذلك معطى.
ان مفهوم الكتلة يستخدم للتمييز و المقارنة بين الاجسام على اسس التجارب الميكانيكية الاساسية المحددة. اثنين من الاجسام ذات نفس الكتلة, على سبيل المثال سوف يتم جذبهما بواسطة الارض بنفس الطريقة : وانهما كذلك سوف يعرضان المقاومة نفسها للتغيير بواسطة الحركة الانتقالية.
ان القوة تمثل الفعل لجسم واحد على الآخر. انها ممكن ان تحفز بواسطة الاتصال الفعلي او من على مسافة, كما في حالة القوى الجذبية او القوى المغناطيسية. ان القوة تميز بواسطة نقطة التطبيق لها, وقيمتها واتجاهها وان القوة تمثل بواسطة متجه.
في ميكانيك نيوتن الفراغ, و الكتلة هي مفاهيم مطلقة, مستقلة واحدة عن الاخرى. وهذا ليس صحيح في الميكانيك النسبي, حيث ان الزمن للحادثة يعتمد على الموقع, وحيث ان الكتلة للجسم تتغير مع سرعته. على الجانب الآخر, المفهوم للقوة هو ليس مستقل عن الثلاثة الآخرين. في الواقع , واحد من المبادئ الاساسية في ميكانيك نيوتن والتي تدرج ادناه تبين ان القوة الناتجة المؤثرة على الجسم تكون مرتبطة مع كتلة الجسم وطريقة تغير سرعته مع الزمن.
نحن سوف ندرس الشروط للسكون والحركة للجسيمات والاجسام الصلبة بحدود المفاهيم الاساسية الاربعة التي قدمناها.
الجسيمة نعني بها الكمية الصغيرة جداً من المادة والتي يمكن ان تفرض انها تصاحب نقطة مفردة في الفراغ . الجسم الصلب هو عبارة عن تركيب لعدد كبير من الجسيمات المصاحبة لمواقع ثابتة مع الاعتبار لكل من الآخر. الدراسة لميكانيك الجسيمات هي بشكل واضح متطلب اساسي لدراسة الاجسام الصلبة. والى جانب ذلك, النتائج التي نحصل عليها للجسيم ممكن ان يتم استخدامها و بشكل مباشر في عدد كبير من المسائل التي تتعامل مع شروط السكون والحركة للاجسام الحقيقية.
ان الدراسة للميكانيك ألاساسي تستقر على ستة مبادئ اساسية تؤسس على البرهان التجريبي:-
قانون متوازي الاضلاع لعملية جمع القوى:- هذا القانون يوضح انه اذا كانت هناك أثنين من القوى تؤثر على الجسيمة ممكن ان يتم استبدالها بقوة مفردة, يطلق عليها بالمحصلة او النتيجة, يتم الحصول عليها بواسطة الرسم لقطر متوازي الاضلاع والذي يملك جوانب مساوية للقوة المعطاة.
مبدأ المنقولية (قابلية النقل):- هذا المبدأ يوضح انه الشروط للتوازن أو للحركة للجسم الصلب سوف تبقى غير متغيرة اذا كانت القوة المؤثرة عند نقطة معطاة للجسم الصلب سوف تستبدل بواسطة قوة بنفس المقدار و الاتجاه, ولكنها تؤثر عند نقطة مختلفة, بشرط ان القوى الاثنين تمتلك نفس خط الفعل.
القوانين الاساسية الثلاثة لنيوتن :- تم تشكيلها بواسطة أسحاق نيوتن في القسم الاخير من القرن السابع عشر, هذه القوانين ممكن ان تبين كالتالي:-
القانون الاول:- اذا كانت محصلة القوة المؤثرة على الجسيمة صفر, فالجسيمة سوف تبقى في حالة سكون (اذا كانت اصلاً في حالة سكون) او سوف تتحرك مع سرعة ثابتة وبخط مستقيم (اذا كانت اصلاً في حالة حركة).
القانون الثاني:- اذا كانت محصلة القوة المؤثرة على الجسيمة ليست صفر, فالجسيمة سوف تمتلك تعجيل مع مقدار تلك المحصلة و باتجاه محصلة القوة تلك. هذا القانون يمكن ان يوضح كالتالي:-
F=ma (1-1)
حيث ان:- F,m,a تمثل و بالتتابع محصلة القوة المؤثرة على الجسيمة, كتلة الجسيمة وتهجيل الجسيمة معبر عنها بنظام متماسك من الوحدات.
القانون الثالث:- قوى الفعل ورد الفعل بين الاجسام الصلبة التي تكون في تماس سوف تمتلك نفس المقدار , نفس خط الفعل, وباتجاه معاكس.
قانون نيوتن في الجاذبية:- هذا القانون يوضح انه اذا اثنين من الجسيمات ذوات كتل M وm تكون بشكل متبادل تتجاذب مع قوى متساوية و متعاكسة و هي F و F^/ (الشكل 1-1). ذات القيمة F والتي تعطى بواسطة الصيغة التالية:-
F=G Mm/r^2 (1-2)
حيث ان :- r:- هي المسافة بين اثنين من الجسيمات.
و G:- هو الثابت الكوني و الذي يطلق عليه بثابت الجاذبية.
الشكل:- (1-1 )


قانون نيوتن في الجاذبية يقدم فكرة الفعل الممارس من على مسافة و يوسع مدى تطبيق القانون الثالث لنيوتن=الفعل F ورد الفعل F^/ في الشكل (1-1) يكونان متساويان و بأتجاه معاكس, و هما يمتلكان نفس خط الفعل.
الحالة العملية ذات الاهمية العظمى هي تلك لحالة الجذب للارض على الجسيمة الموضوعة على سطح الارض. القوة F المحفزة بواسطة الارض على الجسيمة تعرف فيما بعد كالوزن W للجسيمة. وبأخذ M مساوية لكتلة الارض,فان m سوف تساوي كتلة الجسيمة,وr تساوي نصف القطر R للارض, وبتقديم الثابت:-
g=GM/R^2 (1-3)
فالقيمة W لوزن الجسيمة ذات الكتلة m ممكن ان يعبر عنها كالتالي:-
W=mg (1-4)
التعريف الاكثر دقة للوزن W يجب ان يأخذ في الحساب دوران الارض. قيمة R في الصيغة (1-3) تعتمد على ارتفاع او زاوية النقطة المفترضة ,انها كذلك تعتمد على خط العرض, بما ان الارض هي ليست كروية بشكل حقيقي. قيمة g كذلك تتنوع مع الموقع للنقطة المفترضة. على طول كون النقطة وبشكل واقعي تبقى على سطح الارض, فأن الحالة الدقيقة و الكافية في معظم الحسابات الهندسية هي بفرض قيمة لل g تكون مساوية ل 9.81m/s2 او 32.2ft/s2 .
ان المبادئ الاساسية التي قمنا بذكرها لحد الآن سوف يتم تقديمها خلال الفصل الدراسي لدراستنا لمادة الميكانيك كلما يتم الحاجة اليها. ان الدراسة للحالات السكونية للاجسام,سوف يتم تأسيسها على قانون متوازي الاضلاع للجمع وكذلك على القانون الاول لنيوتن وحده. ان مبدأ المنقولية (قابلية النقل) سوق يتم تقديمه عندما نبدأ بدراسة الحالات السكونية للاجسام الصلبة؛والقانون الثالث لنيوتن عندما نقوم بتحليل القوى المحفزة على بعضها الاخر بواسطة العناصر المنوعة للتركيب. وانه يجب ملاحظة ان المبادئ الاربعة المذكورة اعلاه تشكل اساس المدخل لدراسة الاجسام الساكنة , الاجسام الصلبة و انظمة الاجسام الصلبة . وعند دراسة الحالات الحركية ,فان قانون نيوتن الثاني وقانون نيوتن في الجاذبية سوف يتم تقديمها . وسوف يتم فيما بعد اظهار انه القانون الاول لنيوتن هو الحالة العملية لقانون نيوتن الثاني. وكذلك ايضاً يمكن اظهار انه مبدأ المنقولية يمكن ايضاً ان يشتق من المبادئ الاخرى وهكذا يتم الغائه. ومع هذا, فان قانونا نيوتن الاول والثالث, قانون الجمع لمتوازي الاضلاع ومبدأ المنقولية سوف يؤسسون بشكل كافي المجال الكلي لدراسة الحالات السكونية. كما لوحظ مبكراً,فالمبادئ الستة الاساسية التي ذكرت هي مؤسسة على الدليل العملي. فيما عدا قانون نيوتن الاول ومبدأ المنقولية حيث انها مبادئ لايمكن اشتقاقها رياضياً من بعضها البعض او من أي مبدأ فيزيائي أولي.
ولأكثر من قرنين من الزمان فان عدد كبير من المسائل التي تتعامل مع شروط السكون و الحركة للاجسام الصلبة,للاجسام القابلة للتشويه و الموائع قد تم حلها بواسطة تطبيق هذه المبادئ الاساسية. العديد من الحلول التي يتم اشتقاقها من هذه المبادئ يجب اي يتم فحصها بشكل تجريبي وهكذا تعطي اثبات اكبر لهذه المبادئ. وقد ظهر مؤخراً ان في ميكانيك نيوتن خطأ محدد عند تطبيقه في دراسة الحركة للذرات ويجب تحسينه بواسطة النظرية النسبية. ولكن على المقياس البشري, حيث ان السرع تكون صغيرة بالمقارنة مع سرعة الضوء,فميكانيك نيوتن يبقى مطبق.
1-3:- أنظمة الوحدات:-
المفاهيم الاربعة الاساسية التي قد تم تقديمها في القسم السابق تكون مترافقة مع ما يطلق عليه بالوحدات الحركية.,وهي وحدات الطول,الزمن,الكتلة و القوة. هذه الوحدات لايمكن ان يتم اختيارها بشكل مستقل وذلك لتحقيق المعادلة (1-1) بشكل صحيح. ثلاثة من الوحدات ممكن ان يتم تعريفها بشكل اختياري والتي تعرف فيما بعد بالوحدات الاساسية, بينما الوحدة الرابعة, يجب ان يتم اختيارها بشكل متوافق مع المعادلة (1-1) وحيث يطلق عليها بالوحدة المشتقة. الوحدات الحركية التي تختار بتلك الطريقة يقال عنها بأنها تشكل نظام متوافق من الوحدات.
النظام الدولي للوحدات International System of Units (SI Units):-
في هذا النظام فأن الوحدات الاساسية هي وحدات الطول, الكتلة والزمن والتي يطلق عليها وبشكل متتابع المتر(m ),الكيلوغرام (kg ) والثانية (s ).
الثانية تمثل (1/86400 )جزء من معدل اليوم الشمسي, وهي بشكل فعلي تعرف بأنها الفترة المستغرقة خلال 9192631770 دورة للاشعاع المرافق مع الانتقال المحدد لذرة السيزيوم.
المتر يمثل واحد بالعشرة من المليون من المسافة من خط الاستواء الى القطب,وهو الآن يعرف بأنه يمثل 165076373 أطوال موجية لخط الأحمر-البرتقالي للكريبتون 86.
الكيلوغرام والذي بشكل تقريبي يساوي الى كتلة 0.001 m3 من الماء, وهو يعرف بشكل فعلي ككتلة البلاتنيوم القياسية والتي تحفظ في المكتب الدولي للاوزان والمقاييس بالقرب من باريس,فرنسا.
وحدة القوة هي وحدة مشتقة يطلق عليها بالنيوتن (Newton(N) )والتي تعرف بأنها القوة التي تعطي تعجيل بمقدار 1m/s2 وذلك لكتلة مقدارها 1kg (الشكل 1-2).ومن المعادلة (1-1) نكتب:
1N=(1kg)(1m/s2)=1kg.m/s2 (1-5)
الشكل (1-2)

ان وحدات النظام الدولي تشكل نظام مطلق من الوحدات. وهذا يعني ان الوحدات الاساسية الثلاثة المختارة تكون مستقلة عن الموقع حيث تم اخذ القياسات. المتر,الكيلومتر والثانية يمكن ان يتم استخدامها في اي مكان على الارض او حتى على كوكب آخر.
مثل اي قوة أخرى,فأن وزن الجسم يجب ان يعبر عنه بوحدات النيوتن. ومن المعادلة (1-4) فأنه يتبع ان الوزن للجسم الذي يمتلك كتلة 1kg (الشكل1-3) يكون:-
W=mg=(1kg)(9.81m/s2)=9.81N
الشكل (1-3)



الأضعاف وما دون ألأضعاف لوحدات SI الدولية ممكن ان يتم الحصول عليها من خلال الاستخدام للالقاب التصديرية (Prefix:-اللقب التصديري:-لقب يتصدر اسم الشخص) والتي سوف يتم تعريفها في الجدول (1-1). الأضعاف وما دون ألأضعاف لوحدات الطول, الكتلة والقوة غالباً ما تستخدم وبشكل متكرر وهي بالتتابع, الكيلومتر(Km) و الملي متر(mm),الميغا غرام(Mg) و الغرام(g)؛والكيلونيوتن(KN).وحسب الجدول (1-1) فنحن نملك:-
1Km=1000m 1mm=0.001m
1Mg=1000Kg 1g=0.001Kg
1KN=1000N
التحويل لهذه الوحدات الى الامتار,الكيلوغرامات وللنيوتن,وبشكل متتابع, ممكن ان يتم انجازه وببساطة بواسطة التحريك للنقطة العشرية ثلاثة مواقع الى اليمين او الى اليسار.وعلى سبيل المثال, لكي نقوم بتحويل 3.82Km الى الامتار,فنقوم بتحريك النقطة العشرية ثلاثة مواقع الى اليمين:- 3.82Km=3820m
وبشكل مشابه,47.2mm سوف تتحول الى الامتار بواسطة تحريك النقطة العشرية ثلاثة مواقع الى اليسار:-47.2mm=0.0472m
وبأستخدام التدوين العلمي,يمكن كذلك ان نكتب:-
3.82Km=3.82x103m
47.2mm=47.2X10-3m
المضاعفات لوحدة الزمن هي الدقيقة (min) و الساعة (h). بما أن :-
1min=60s, 1h=60min=3600s
Table (1-1):- SI Prefixes
Symbol Prefix Multiplication factor
T Tera 1012
G Giga 109
M Mega 106
K Kilo 103
h Hecto 102
da Deka 101
d Deci 10-1
c Centi 10-2
m Milli 10-3
µ Micro 10-6
n Nano 10-9
p Pico 10-12
f Femto 10-15
a Atto 10-18
وحدات المساحة والحجم:- الوحدة للمساحة هي المتر المربع (m2), والذي يمثل مساحة مربع ذي جانب بطول 1m ؛وحدة الحجم هي المتر المكعب (m3), والذي يساوي الى حجم مكعب ذا جانب بطول 1m. ولكي نتجنب القيم العددية الكبيرة والصغيرة جداً في حساب المساحات والحجوم,فسوف نستخدم الانظمة لما دون الوحدات والتي نحصل عليها بواسطة التربيع او التكعيب المتعاقب,ليس فقط الملي متر,ولكن كذلك قيمتين شبه مضاعفة للمتر وهي الديسي متر (decimeter (dm)) والسنتي متر (centimeter(cm)) وكما يأتي ادناه:-
1dm=0.1m=10-1m
1cm=0.01m=10-2m
1mm=0.001m=10-3m
وما دون المضاعفات لوحدة المساحة هي:-
1dm2=(1dm)2=(10-1m)2=10-2m2
1cm2=(1cm)2=(10-2m)2=10-4m2
1mm2=(1mm)2=(10-3m)2=10-6m2
وما دون المضاعفات لوحدة الحجم هي:-
1dm3=(1dm)3=(10-1m)3=10-3m3
1cm3=(1cm)3=(10-2m)3=10-6m3
1mm3=(1mm)3=(10-3m)3=10-9m3
يجب ملاحظة انه عندما يتم قياس الحجم للسائل فأن الديسي متر مكعب (dm3) عادةً ما يشار اليه باللتر (liter(l)).وحدات SI مشتقة اخرى سوف تستخدم وذلك لقياس عزم القوة (moment), الشغل للقوة (work),...... التي سوف يتم تقديمها في الجدول (1-2).
Table 1-2:- Principal SI units used in mechanics
Formula Symbol Unit Quantity
m/s2 Meter per second squared Acceleration
rad Radian Angel
Rad/s2 Radian per second squared Angular acceleration
Rad/s Radian per second Angular velocity
m2 Square meter Area
Kg/m3 Kilogram per cubic meter Density
N.m J Joule Energy
Kg.m/s2 N Newton Force
s-1 Hz Hertz Frequency
Kg.m/s Newton-second Impulse
m Meter Length
Kg Kilogram Mass
N.m Newton-meter Moment of force
J/s W Watt Power
N/m2 Pa Pascal Pressure
N/m2 Pa Pascal Stress
s Second Time
m/s Meter per second Velocity
m3 Cubic meter Volume of solids
10-3m3 ? liter Volume of liquids
N.m J Joule Work
ملاحظة:-وحدة اضافية و تكميلية هي (دورة واحدة 360o=2? rad=(1)).
وفي الجدول (1-3) نستعرض ما يطلق عليه بألأحرف ألأغريقية:-
? الفا ? ايوتا ? رو
? بيتا ? كابا ? سيجما
? جاما ? لامدا ? تاو
? دلتا ? ميو ? اوبسيلون
? ابسيلون ? نيو ? فاي
? زيتا ? اكساي ? كاي
? ايتا ? اوميكرون ? ابساي
? ثيتا ? باي ? اوميجا

1-4:- طريقة حل المسألة:-
الطالب يجب ان يقرب المسألة في الميكانيك كما يقوم بتقريب موقف هندسي حقيقي. انه من الاسهل القيام بأدراك وتشكيل المسألة وذلك بواسطة الرسم والاعتماد على الخبرة الخاصة.وحالما تكون المسألة قد تم ذكرها بوضوح,فأن الحل يجب ان يؤسس على المبادئ الاساسية الستة التي قد تم ذكرها سابقاً وعلى النظريات المشتقة من هذه المبادئ. كل خطوة تؤخذ يجب ان تضبط على تلك الاسس بحيث ان قواعد دقيقة تتبع وذلك لكي تقود الى الحل بنمط آلي على الأغلب. بعد ان تم الحصول على الجواب, فانه يجب ان يتم فحصه اذا لم يكن مقنعاً بشكل كامل ,حيث يجب ان تفحص و بعناية الصياغة للمسألة والطرق المستخدمة لحلها وبالتالي الدقة الموجودة في الحسابات. الصياغة للمسألة يحب ان تكون واضحة ودقيقة حيث انها يجب ان تحتوي على البيانات المعطاة وتبين بوضوح نوع المعلومات المطلوبة. الرسم المتقن الذي يتضمن كل الكميات في المسألة يجب ان يحتوي على مخططات منفصلة لكل الأجسام بحيث تؤشر بوضوح القوى المؤثرة على كل جسم. المبادئ الأساسية للميكانيك والتي ذكرت سابقاً سوف يتم استخدامها وذلك لكتابة المعادلات التي تعبر عن شروط السكون أو الحركة للأجسام. كل معادلة يجب ان ترتبط وبشكل واضح بواحد من المخططات. وسوف نقوم بحل المسألة وذلك بألاتباع الدقيق للقواعد العادية للجبر والتسجيل الدقيق للخطوات التي تتبع. بعد ان يتم الحصول على الجواب, فأنه يجب ان يفحص بعناية حيث ان الاخطاء ممكن ان تكشف بواسطة الفحص للوحدات.
وعلى سبيل المثال, لكي نحدد عزم القوة التي تبلغ (50N) حول نقطة تبعد (0.6m) من خط تأثيرها فسوف نطبق القانون التالي:- M=Fd=(50N)(0.6m)=30N.m , الوحدة N.m يتم الحصول عليها بواسطة ضرب النيوتن في وحدات المتر وهي وحدة صحيحة لعزم القوة؛ولكن اذا تم الحصول على وحدة اخرى, فسوف نعرف ان بعض الخطأ قد تم ارتكابه اثناء حل المسألة.
الحسابات الصحيحة في الهندسة تكون مهمة وسوف يتم ايجاد الخطأ بواسطة التعويض للقيم العددية التي تم الحصول عليها الى داخل المعادلة واثبات انه قد تم تحقيقها بشكل صحيح. الدقة العددية لحل المسألة تعتمد على اثنين من الشروط:- (1) الدقة للبيانات المعطاة.(2) الدقة للحسابات المنجزة. الحل يستمد دقته من الدقة الاقل لهذين الشرطين. على سبيل المثال, اذا كانت النتيجة تكون بحدود 75,000 N مع خطأ محتمل بمقدار 100 N بأي طريقة (زيادة او نقصان(±)), فالخطأ النسبي والذي يقيس درجة الدقة للبيانات يحسب بالخطوات التالية:-
100N/75,000N=0.0013=13/10000=0.13/100=0.13percent(%)
فالدقة للحل لا يمكن ان تكون أكبر من 0.13 % فأذا كانت واحدة من النتائج هي 14,322 N فألخطأ المحتمل في الجواب يمكن ان يكون بكبر الكمية:- (0.13/100)(14,322N)?20N.
وهكذا فأن الحل يجب ان يسجل وبشكل صحيح كالتالي:- 14,322±20N.
في المسائل الهندسية العمليةفأن حاسبات الجيب الالكترونية تستخدم بشكل واسع بواسطة الطلاب وذلك في حل العديد من المسائل لما تتسم به من السرعة والدقة في انجاز الحسابات العددية .