محاضرة 6

إحصاء التكميم الحديث

أ‌- إحصاء بوز-اينشتاين:-
و يطبق هذا الإحصاء على الجسيمات التي عددها الكمي ألبرمي يساوي أعداد صحيحة (S=0,1,2,3,......) مثل جسيمات ألفا و الهيدروجين الثقيل و الميزونات و يطبق أيضا على الموجات مثل الفوتونات و الفونونات. و تسمى الجسيمات التي تخضع لهذا الإحصاء البوزونات و لا تخضع هذه الجسيمات لمبدأ الاستبعاد لباولي حيث لا يوجد تحديد لعدد البوزونات التي تشغل الحالة الكمية.
و لاشتقاق توزيع أو إحصاء بوز اينشتاين لنأخذ وعاء حجمه ثابت ( V ) مقفل و معزول حراريا عن المحيط و يحتوي على بوزونات مادية و في حالة اتزان. لنأخذ احد مستويات الطاقة و لكن (Ei) و الذي يمتلك حالات عددها (gi) و يوجد فيه (Ni) من الجسيمات المادية و كما قلنا سابقا لا يوجد تحديد لعدد الجسيمات التي تشغل نفس الحالة الكمية و حسب طريقة بوز اينشتاين لنتصور مستوى طاقة على شكل رف و لتحديد الحالات نحتاج إلى (gi-1) من الجدران



و بذلك يمكننا تحديد مواقع على مستوى الطاقة عددها يساوي عدد الجسيمات Ni + عدد الجدران (gi-1) . فمثلا لو كان gi=4 و ان عدد الجسيمات (Ni=3) فان عدد المواقع يساوي (3+4-1=6) أي (Ni+gi-1) و يمكن وضع أما جسيمة أو جدار على هذه المواقع و بذلك نحصل على التوزيعات التالية:-

الأول Ni+gi+1
الثاني Ni+gi+2
الثالث Ni+gi+3
.
.
الأخير Ni¬ Ni+gi+Ni
وبذلك يكون عدد التوزيعات لهذه الجسيمات:-


و بالضرب و القسمة على المقدار (gi-1)! نحصل على :-


هذا في حالة البوزونات المتميزة أما في حالة البوزونات المتشابهة أو الغير متميزة فيجب أن نقسم على المقدار (Ni)! وبذلك يكون :-

للجسيمات المتماثلة
و سنفترض أن البوزونات في المنظومة التي ندرسها متماثلة لذلك سنطبق عليها المعادلة (1).
و عندما تكون (Ni,gi >> 1) فيمكن إهمال الرقم 1 في المعادلة (1) و تصبح المعادلة:-


وبذلك يكون عدد التوزيعات لجميع جسيمات المنظومة و لجميع مستويات الطاقة:-



و لما كانت المنظومة في حالة اتزان فان الاحتمالية الثرموديناميكية (?) تكون عند قيمتها العظمى وفي هذه الحالة يكون:-

و بأخذ لوغاريتم طرفي المعادلة (3):-


و للقيمة العظمى:-


و ترتيب المعادلة أعلاه:-

بما أن dNi هي متغيرات غير مستقلة لذلك سنستخدم طريقة لاكرانج للمعاملات المضاعفة.

بالاشتقاق نحصل على:-
* ?

و بما ان النظام معزول فان:-

بالاشتقاق و الضرب في ?- نحصل على:-

من المعادلات (4) و(5) و(6) نحصل على :-


وباختيار مناسب لقيم ?و? تصبح المعادلة:-

وبترتيب المعادلة أعلاه نحصل على:-



و المعادلة (7) تمثل توزيع إحصاء بوز-اينشتاين لبوزونات مادية متماثلة.
أما في حالة البوزونات الموجية كالفوتونات أو الفونونات فبالرغم من أن المنظومة مغلقة ألا أن عدد هذه الموجات N لا يكون ثابت.

و قد استخدمنا في استنتاج المعادلة (7) المعادلة رقم (5)
إذن و من المعادلتين (5) و (8) نحصل على أن ?=0.
إذن و لحالة الموجات فان المعادلة (7) تصبح:-




وهنا أيضا إذن المعادلة (9) تصبح:-


وعندما تكون مستويات الطاقة متقاربة فان المعادلة (10) تكون :-




لدينا


و بالتكامل على xوyوz نحصل على :-

















المعادلة (12) هي للموجات الطولية. أما بالنسبة للموجات المستعرضة فيجب أن تضرب المعادلة (12) في 2 :-

لدينا من معادلة ديبرولي:-


و بالاشتقاق نحصل على :-

بتعويض المعادلة أعلاه في المعادلة (13) نحصل على:-
للموجات الطولية

للموجات المستعرضة (فوتونات) التي
يتراوح ترددها بين f و f+df

إذن و للموجات المستعرضة فان عدد الموجات (الفوتونات) ) التي يتراوح ترددها بين f و f+df:-

حيث dg :- عدد الحالات أو عدد أنماط الاهتزاز

الغاز الفوتوني
سوف نحاول هنا استخدام إحصاء بوز- اينشتاين لاستنتاج قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود, وكما هو معلوم فان الجسم الأسود في الفيزياء هو عبارة عن صندوق مجوف أو تجويف و يحتوي على ثقب صغير يكون لونه اسود و الإشعاع الذي يخرج من هذا الثقب يسمى إشعاع الجسم الأسود.
ونتيجة لاهتزاز الذرات بسبب الحرارة الموجودة على الجدران الداخلية للصندوق فإنها تبعث إشعاع كهرومغناطيسي و عندما يسقط هذا الإشعاع المنبعث على الذرات في الجدران المقابلة فإنها تمتص هذا الإشعاع و تزداد حركتها الاهتزازية و تبعث بدورها إشعاع كهرومغناطيسي و تتكرر هذه العملية داخل الصندوق و النتيجة هي إشعاع كهرومغناطيسي أو فوتونات تتحرك ذهابا و إيابا داخل الصندوق و هي تشبه حركة جزيئات الغاز داخل الوعاء و لهذه تسمى هذه الفوتونات بالغاز الفوتوني. و في حالة الاتزان بين معدل امتصاص الفوتونات في وحدة الزمن يساوي المعدل الزمني لانبعاث الفوتونات عند درجة الحرارة T للصندوق و بما أن الزخم الزاوي للفوتون يساوي ? أي أن عدده الكمي البرمي يساوي واحد ولهذا فان الفوتونات تخضع لإحصاء بوز اينشتاين. وكما مر معنا سابقا و حسب هذا الإحصاء فان عدد الفوتونات التي يتراوح ترددها بين f و f+df هو:-

و بذلك تكون طاقة هذه الفوتونات لوحدة (كثافة الطاقة) الحجم هي :-


وباستخدام المعادلة (1) نحصل على:-

وتكتب عادة كثافة الطاقة U(f) بالشكل:-

?(f):- monochromatic energy density كثافة الطاقة أحادية اللون
و بمساواة المعادلة أعلاه مع المعادلة (2) نحصل على :-

و المعادلة (3) تمثل قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود بدلالة التردد.
و تعتبر هذه الطريقة التي اتبعناها لاستنتاج قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود باستخدام إحصاء بوز-اينشتاين في الوقت الحاضر أكثر دقة من الطريقة التي اتبعها بلانك بالرغم من أهميتها التاريخية و ذلك للسببين التاليين :-
1- افترض بلانك أن طاقة المتذبذبات الذرية هي:-
E=0, hf, 2hf, 3hf ……,
بينما الطاقة الاهتزازية للذرات حسب الميكانيك الكمي:-

2- إن بلانك استخدم قانون بولتزمان للتوزيع الحراري (الذي ينطبق على الغازات) و هو الذي ينطبق على الجسيمات الكلاسيكية و لا ينطبق على الفوتونات أو الذرات التي تتذبذب على جدران الجسم الأسود في الحالة الصلبة.

الانبعاث المحفز – الليزر و الميزر

لو أخذنا مجموعة من الذرات المتماثلة و القادرة على الامتصاص و الإشعاع عند التردد (f) ووضعناها في مجال لإشعاع الجسم الأسود تتبادل معه الفوتونات فبإمكان الذرة أن تتهيج بامتصاص فوتون فتزداد طاقتها أو تشع فوتون فتنقص طاقتها. وهذه الطاقة تأتي أو تذهب إلى مجال الإشعاع الموضوعة فيه, و عند الاتزان يتساوى معدل الامتصاص مع الانبعاث. و لقد بين اينشتاين ثلاثة عمليات إشعاعية هي :- (أ) الامتصاص المحتث, (ب) انبعاث محتث, (ج) الانبعاث الآني كما في الشكل:-










ويكون المعدل الزمني لذرات الامتصاص المحتث :- B12N1U(f)
و المعدل الزمني لذرات الانبعاث المحتث يساوي :- B21N2U(f)
حيث N1,N2 هو عدد الذرات ذات الطاقة E1,E2 على التوالي و B12 ,B21 معاملات اينشتاين للامتصاص و الانبعاث.
أما المعدل الزمني لذرات الانبعاث الآني أو الذاتي فيساوي A21N2 لأنه لا يعتمد على المحيط و إنما يعتمد على تركيب الذرة وعدد الذرات بطاقة E2 , A21 معامل اينشتاين للانبعاث الآني.
ولكي يتم الاتزان فان المعدل الزمني للطاقة الممتصة يساوي المعدل الزمني للطاقة المنبعثة:-
B21 N2 U(f) + A21 N21 = B12 N1 U(f)
و بالحل نحصل على:-


و باستخدام إحصاء بولتزمان مع كون E2-E1=hf نحصل على :-

و بمقارنة المعادلات أعلاه مع معادلة بلانك (المعادلة (2)) يجب أن يكون :-

B12=B21 and
و من الممكن حساب المعاملات الثلاثة أعلاه بواسطة نظرية التكميم.
إن التوازن بين عمليات الامتصاص و الانبعاث عندما تتوزع الذرات حسب إحصاء بولتزمان يؤدي إلى توزيع بلانك للإشعاع و هي حالة الاتزان و هي حالة الاتزان. أما إذا كانت الذرات غير متزنة من الناحية الثرموديناميكية فان كثافة الإشعاع سوف تشذ عن توزيع بلانك و هذا الشذوذ يكون موجود في حالة الليزر و الميزر.حيث للحصول على عملية الليزر يجب خلق توزيع غير متزن للذرات حيث يكون تأهيل المستويات المتهيجة أعلى من تأهيل المستويات الدنيا و يتم ذلك عن طريق ضخ الذرات أو الجزيئات إلى مستويات الطاقة العليا بمعدل عالي بحيث يفوق مقدار الانبعاث الآني للذرات أو الجزيئات العائدة من مستويات الطاقة العليا إلى المستوي الأرضي كذلك يتطلب انبعاث الليزر كون الانبعاث المحتث أو المحفز اكبر من مقدار جميع الخسائر الحاصلة في الوسط الفعال و المرنان للوصول إلى حالة العتبة و الخرج الليزري.