الحرارة النوعية الالكترونية في المعادن

الحرارة النوعية الالكترونية في المعادن

ان الإلكترونات الحرة تخضع لاحصاء غاز فيرمي- ديراك أو الفيرميونات (fermions ) وهي النسخة الكمية للغاز المثالي .وسنلتزم هنا التعامل مع إحصاء فيرمي – ديراك :

(21)
ولكي نفهم هذه الدالة نجري المناقشة التالية :
عند درجة الصفر المطلق T=0 Kتدعى أعلى سوية طاقة مشغولة بالالكترونات بسوية فيرمي EF ففي العلاقة (21) عندما E=EF فإننا نجد f(E)=1/2 أي أن نصف الحالات مشغولة تماما والنصف الأخر فارغ وعلى المستوى الفضائي نحصل على سطح فيرمي الممثل بكرة الشكل(9). وبمعنى آخر احتمال انشغال الحالات تحت سوية فيرمي يساوي الواحد(100%), واحتمال الانشغال فوق سوية فيرمي يساوي الصفر.


وعندما ترتفع درجات الحرارة فان بعض الالكترونات تنتقل إلى مستويات طاقة أعلى من سوية فيرمي تاركة ورائها مكانا فارغا وهذا ما يؤدي إلى تغير التوزيع أنظر الشكلين (10 و 11).



الشكل (11) توزيع فيرمي ديراك
وبشكل رياضي يمكننا الآن وضع التصور التالي:


ولحساب الحرارة النوعية لابد من حساب الطاقة للالكترونات الحرة كدالة لدرجة الحرارة ولذلك ننطلق من المعطيات التالية:
من خلال كثافة الحالات الالكترونية في وحدة الحجم(راجع كثافة الحالات) يمكن إيجاد عدد الالكترونات الكلي في وحدة الحجم من العلاقة:

وعندما T=0 فان f(E)=1 ، نحصل على طاقة فيرمي EF من العلاقة (23) كالتالي:

والطاقة (الكلية)الحركية الوسطية للالكترونات (طاقة الوضع تساوي الصفر) عند الدرجة صفر مطلق هي:

وأخيرا حساب الطاقة الكلية(الحركية) عند أي درجة حرارة من العلاقة العامة التالية:

والطاقة الوسطية لكل إلكترون:

ومقدار هذا التكامل:

أي أن طاقة الإلكترون تزداد مع ازدياد درجة الحرارة. ومنه الحرارة النوعية الالكترونية:

بتطبيق العلاقة (28) من أجل n إلكترون:

وهي علاقة تتفق مع النتائج التجريبية بخلاف العلاقة الكلاسيكية التي تكون فيها الحرارة النوعية الالكترونية مستقلة عن درجة الحرارة.وإذا اعتبرنا أن E=KTF حيث TF درجة حرارة فيرمي وهي درجة عالية تقدر بعشرة آلاف كلفن تقريبا فان العلاقة (30) تصبح:

وتكون الحرارة النوعية الكلية هي مجموع المساهمات من شبكية والكترونية أي:

وإذا كان المعدن من النوع الحديدي المغنطةFerromagnetic)) فان الحد ( ) يضاف إلى المساهمات السابقة ،والحد ( ) إذا كان المعدن من النوع الحديدي المغنطة المعاكس(antiferromagnetic)،وفي الدرجات المنخفضة جدا تضاف الحرارة النوعية النووية الخاصة بالنواة ويضاف الحد ( )،وهذه الحدود إذا كان المعدن نقيا وإلا تصبح الأمور غاية في التعقيد إذا أضفنا موضوع الخلائط(alloys).
يتم حساب المعاملات ? و ? من الرسم البياني من خلال العلاقة:

نرسم C/T مقابل T2 فنحصل على قيمة الميل ? ونقطة التقاطع مع الحور العمودي تعطينا قيمة ?، ولا ننسى أن التحليل السابق كان ضمن نطاق غاز فيرمي الحر في المعادن .