نموذج ديباي

.نموذج ديباي للسعة الحرارية (Debye Specific Heat):
كثافة الحالاتdensity of state( DOS)) ):
تستخدم عبارة كثافة الحالات للتعرف على عدد الحالات في مجال وحدة الطاقة (عدد مستويات الطاقة في المجال dE )،أو من يرتبط معها بعلاقات رياضية، فمثلا في فضاء متجهة الموجة يمكننا اعتبار كرة نصف قطرها K فيكون حجمها 4/3?K3))،وبما أن كل عقدة من عقد الشبكة البلورية محتواة في حجم يساوي إلى حجم الخلية البدائية (((2?/L)3 فإننا نحصل على عدد الأنماط داخل الكرة بتقسيم حجم الكرة الكلي على حجم الخلية البدائية أي:

أما عدد الأنماط ضمن قشرة كروية محصورة بين K, و K+dK فهو بمفاضلة العلاقة (16) وينتج العلاقة التالية:

وقد اعتبر ديباي كرة في الفضاء n والتي تعطي نفس عدد الذرات ، وأخذ n كمتجهة نصف قطر الكرة مع الأخذ بعين الاعتبار قيم n الموجبة فقط فالمطلوب هو ثمن حجم الكرة (N=1/8.4/3? nmax3 ) ، وفي حال مكعب طول ضلعه L فان عدد الأنماط ( (N=nmax3 انظر الشكل(6).
وعموما يمكن الانتقال من فضاء إلى فضاء أخر بسهولة لأن عدد الحالات هو نفسه في كل الفضائات، ووفق وجهة نظر ديباي فان عدد الأنماط في قشرة كروية محصورة بين n و n+dn هو:

يمثل المقدار dN(K)/dK من العلاقة (17) ما يسمى كثافة الحالات g(k) في الفضاء K، وكذلك المقدار dN(n)/dn ما يسمى كثافة الحالات g(n) في الفضاء n ، والمقدار dN(?)/d? كثافة الحالات g(?) في الفضاء ? ،وهكذا المقدار dN(E)/dE كثافة الحالات في الفضاء E ، أو dN(p)/dP كثافة الحالات في الفضاء P.
1. نموذج ديباي للسعة الحرارية:
افترض ديباي أن تردد الشبكة البلورية يغطي مجالا واسعا من القيم وليس قيمة وحيدة كما افترضها اينشتاين ، وهذه الترددات تتراوح مابين قيمة دنيا وقيمة عظمى ( ) ، ولحساب القيمة الوسطى لطاقة جميع الهزازات (المذبذبات) نستخدم نفس العبارة التي استخدمت في نموذج اينشتاين( راجع العلاقة ) مع الفارق أننا أمام العديد من الترددات نحصرها مابين تردد أصغري ?min= 0 وتردد أعظمي يسمى بتردد ديباي (max= ?D?) ،واستخدام إحصاء بوز – اينشتاين (راجع دوال التوزع الإحصائي) ،يمكننا ألان كتابة علاقة الطاقة الاهتزازية الداخلية للجملة المدروسة بالعلاقة التالية:

نعوض العلاقة (25) في العلاقة (26) فنجد:

نفرض الفرضيات التالية:

حيث D? درجة حرارة ديباي أسوة بدرجة حرارة اينشتاين E? وعندها تكون طاقة الاهتزاز أكبر ما يمكن، نعوض العلاقات (28) في (27) فنجد:

مع الأخذ بعين الاعتبار أن العدد الكلي للأنماط المتذبذبة يجب أن يساوي عدد درجات الحرية 3N،ومن هذا الاعتبار نحصل على تردد ديباي الأعظمي وفقا للمعالجة التالية:

ومنه العلاقة العامة للطاقة بعد تعويض (30) في (29) تعطى بالشكل التالي:

وهذه العلاقة العامة للطاقة المتوسطة الكلية.أما السعة الحرارية فنحصل عليها بتفاضل العلاقة (31) بالنسبة إلى درجة الحرارة فنحصل على العلاقة التالية:

تدرس العلاقات (29) أو (31) أو (32) عند درجات الحرارة العالية والمنخفضة وفقا لما يلي :
عند درجات الحرارة العالية:
في هذه الحالة وبنشر المقام وفق سلسلة نجد من (29) مثلا أن :

نعوض (33) في إحدى العلاقات أعلاه فنجد:

العلاقة (34) تتفق مع النموذج الكلاسيكي ومع نموذج اينشتاين في الدرجات العالية.


اما عند درجات الحرارة المنخفضة:
في هذه الحالة والتكامل يساوي إلى ( ):

ومنه نعوض في إحدى العلاقات ذات العلاقة فنجد:

أما السعة الحرارية فتصبح:

العلاقة(36) تبين أن السعة الحرارية في الدرجات المنخفضة تتناقص بانخفاض درجة الحرارة وتتناسب مع T3 وتدعى هذه العلاقة بقانون ديباي T3 (الأس الثالث لديباي) وتتوافق تماما مع النتائج التجريبية.

الشكل(7): الخط النظري والتجريبي للسعة الحرارية للفضة كدالة لدرجة الحرارة

الشكل(8): أشكال أخرى للسعة الحرارية كدالة لدرجة الحرارة