lec-18

مثال
عند الرمي العشوائي لقطعة نقود معدنية فانها سوف ترسو باحد وجهيها إلى الاعلى ففي هذا المثال حدثين مختلفين (منفصلين) و متساويين في الحدوث أو الوقوع لذلك المعادلة (2) تصبح:-
P1+P2=1

P1=P2=1/2

مثال: عند الرمي العشوائي لحجر النرد سوف يرسو باحد اوجهه الستة باحتمالات متساوية.
P1=P2=P3=P4=P5=P6=1/6

P(1 OR 2)=P1+P2=1/3

1- الاحتمالات المترابطة Joint probability :لو فرضنا ان مجموعة N لها خاصيتين مستقلتين هما (s,r) من الممكن ان تظهر احداهما كل على حدة أو تظهر كلتا الخاصيتن بنفس الوقت مثلا نجري تجربة على تجمعات احصائية ? للمجموعة N فنجد ان Nr هو عدد المجموعات التي تظهر الحدث r بغض النظر عن اظهار أو عدم اظهار الحدث الثاني (s) لذا فان:-

,

فاذا كانت Ps تمثل حتمالية وقوع الحدث s فان Nrs هو عدد امجاميع التي تظهر الحدثين r و s في نفس الوقت فيجب ان تخضع للعلاقة التالية:-


و من تعريف الاحتمال المركب (Prs) نحصل على:-

و بالمثل نلاحظ انه اذا كانت المجموعة N تظهر ثلاث احداث مستقلة (s,r,t) فان (Psrt) هو عبارة عن ضرب ثلاث احتمالات:-


مثال
لو فرضنا ان مجموعة N مكونة من زهرتي نرد متماثلتين في كل شيء عدا علامة صغيرة على احدهما لتميزه عن الآخر احسب الاحتمالية المترابطة عند الرمي العشوائي للزهرين المذكورين.
,



2- الاتزان الاحصائي Statistical equilibrium : يقال عن أي تجمعات احصائية انها في حالة اتزان احصائي لو ان احتمال وقوع أي حدث ثابت لايعتمد على الزمن فلو ان (t,r,s) هي احداث تظهرها المجموعة واجرينا تجربة على تجمعات احصائية ? للمجموعة N في حالة اتزان لوجدنا ان (Pt,Pr,Ps) ثابتة لا تتغير مع الزمن.
3- توزيع ذي الحدين The binomial distribution : اذا اخذنا
مجموعة N من الجسيمات في حالة اتزان احصائي و لتكن المجموعة عبارة عن غاز مثالي تتكون من N جزيئة في وعاء حجمه Vo فالمطلوب حساب قيمة الاحتمالية P لوجود عدد m من الجزيئات في عنصر الحجم ?V عند الزمن T وان q احتمالية وجود الجزيئات في بقية حجم الوعاء V الذي يساوي:-

فمن الواضح ان:-




و التوزيع المطلوب هو ايجاد احتمالية حدوث P(m) بحيث يتحقق بوقوع حدثين مترابطين, الحدث الاول هو توتجد m جزيئة في عنصر الحجم ?V ولتكن P1 و الحدث الثاني هو توتجد بقية جزيئات الغاز و عددها (N-m) في الحجم (Vo-?V) ولتكن P2 وهي احتمالية وقوع الحدث الثاني. أي ان
,

و ان التوزيع المذكور يتحقق باكثر من طريقة واحدة و ان عدد الطرق المختلفة لتحقيق التوزيع المطلوب تسمى الوزن الاحصائي لذلك التوزيع ونرمز له بالرمز(gm) و انه يخضع لقانون التباديل للعدد m على العدد N.





و تسمى العلاقة الاخيرة بدالة (توزيع ذي الحدين)

مثال
احسب قيم احتمالات وقوع كل الاحداث المختلفة التي تقع عند الرمي العشوائي لأربع عملات معدنية.


,




مثال: عند الرمي العشوائي لخمسة مكعبات زهرة النرد احسب احتمالية ظهور رقم 6 إلى الاعلى في التوزيعات المختلفة التالية:-

أ‌- لزهرة نرد واحدة فقط
ب‌- لزهرة نرد واحدة على الاقل
ت‌- لزهري نرد

الحل
نستعمل توزيع ذي الحدين للأجابة على الجزئين (أ و ت)
لتكن P احتمالية ظهور الرقم 6 إلى الاعلى في زهر نرد واحد لذك فان

و لتكن q هي احتمالية عدم ظهور الرقم 6 إلى الاعلى في زهر نرد واحد وهي:-

أ‌- احتمال ظهور الرقم 6 إلى الاعلى في نرد واحد فقط

ج-


اما في الجزء (ب) في هذه المسالة حساب ظهور الرقم 6 إلى الاعلى في نرد واحد على الاقل
Pi=P(1) or P(2) or P(3) or P(4) or P(5)

الشرط المعياري



7- القيم المتوسطة الاحصائية mean statistical values : لو فرضنا ان المتغير (u) في المجموعة N ياخذذ القيم المحددة (u1,u2,u3,…..) فاذا كانت نتيجة المشاهدات (الاحداث) على التجمعات الاحصائية ? للمجموعة N (أو تكرار المشاهدة عدد N من المرات على نفس المجموعة N) كانت كالآتي:-
عدد N1 مجموعة اظهرت الحدث (المشاهدة) (u1)
عدد N2 اعطت u2 و N? اعطت u?

فان المتوسط الاحصائي للحدث u يعرف بالمعادلة التالية:-




حيث ان (P?) هي احتمالية ان ياخذ المتغير u القيمة المحددة u1 مثلا في أي مجموعة واحدة من التجمعات الاحصائية.
كذلك اذا كانت (F(u)) دالة اختيارية ل(u) فان المتوسط الاحصائي للدالة F(u) يعرف بالعلاقة التالية:-


و كذلك نلاحظ ان المتوسط الاحصائي لمجموع الدالتين F(u) وg(u) تعطى بالعلاقة التالية:-







كذلك فان:-

وكذلك فان:-


8- الانحراف deviation: الانحراف (?u) في القيمة للمتغير (u) هو بالتعريف يساوي مقدار الفرق بين قيمة المتغير (u) في مشاهدة ما و القيمة المتوسطة الاحصائية لذلك المتغير. أي ان:-

من الواضح ان المتوسط الاحصائي للانحراف (?u) يعني ويساوي:-

9- التشتت Dispersion : يسمى المقدار بالتشتت بقيم المتغير (u) أو التغاير (variance) وهو يمثل متوسط مربع الانحراف للمتغير (u) و هو كميو موجبة دائما.
و نلاحظ ان:-




فالتشتت في المعادلة الاخيرة لقيمة u لا يساوي صفر الا في حالة واحدة فقط عندما (ناقش العبارة).
10- الانحراف المعياري standard deviation : يعرف الانحراف المعياري ? لمتغير u بانه الجذر التربيعي للتشتت أي ان:-


الحالات المجهرية و الحالات المنظورة:
ان مفهوم الحالات المجهرية (التفصيلية) و الحالات المنظورة (الكبيرة المحسوسة) يلعب دور كبير في توضيح الميكانيك الاحصائي و يمكن توضيحه باللجوء إلى فكرة سكان فندق أو محتوى مجاميع خلايا فضاء الطور.
فلو فرضنا ان gi تمثل عدد خلايا فضاء الطور التي تعود إلى المجموعة (i) التي طاقتها (Ei) كما في حالة غرف فندق فبعضها مشغول وبعضها فارغ.
فالحالة المنظورة تقوم بتحديد عدد نزلاء الخلايا في المجاميع M في تحدد مثلا بتعيين عدد الذرات في كل مجموعة من الخلايا و هي تساوي (N1) و (N2) و (NM)
ومن الواضح ان الحالة المنظورة هي توزيع في فضاء الطور فهي تعين مجموعة الذرات و ليست الكيفية التي تتوزع بها في كل مجموعة من الخلايا في تعرف بالخواص المنظورة أو القابلة للقياس لنظام الغاز مثلا.
اما الحالة المجهرية فهي تعين الكيفية التي تتوزع فيها الذرات بين خلايا فضاء الطور.
ان الخواص القابلة للقياس مثلا الضغط و درجة الحرارة تعتمد على عدد الحسيمات التي تتواجد في خلايا فضاء الطور المختلفة .
اما الحالات المجهرية فهي تشير إلى عدد الجسيمات وهويتها . وبما اننا نقتصر في تحليلنا على الاتزان الاحصائي حيث تثبت فيه القيم القابلة للقياس تقريبا لأعداد هائلة من الحالات المجهرية لذلك يمكن القول ان الحالة المنظورة الاكثر احتمالا هي التي تحدث في حالة الاتزان الاحصائي. و من الواضح ان مجموعة الجسيمات N في النظام (ما عدا نظام الفوتونات) يساوي مجموع الجسيمات في مستويات الطاقة.
------------(1)
و ان مجموع الطاقة E يساوي مجموع طاقة الجسيمات في النظام:-
------------(2)
وقد يكون بعض هذه الطاقة كامنة مصدرها مجال تثاقلي أو كهربائي أو مغناطيسي (قوى محافظة) و البعض الآخر طاقة حركية (انتقالية أو دورانية أو اهتزازية )فاذا كانت الجسيمات طليقة فان طاقتها الكامنة تهمل و تسمى الطاقة الكلية للنظام عندئذ بالطاقة الداخلية.
-----------(3)
وهي تبقى ثابتة المقدار اذا كان النظام معزول.