lec-14

نظريات رياضية مفيدة في الثرموديناميك
شروط دالة الحالة:-
لو أخذنا كيان معين في حالة توازن كالغاز مثلا فان حالة ذلك الغاز تتعين تعين تام بمعرفة القيم النهائية للخواص التالية الحجم V و الضغط P و درجة الحرارة T.
إن قيم هذه الخواص لا تعتمد على الطريقة أو الوسيلة التي تتم بواسطتها الوصول إلى الحالة النهائية و لغرض توضيح معنى ذلك رياضيا نأخذ متغير مثل X فإذا كاملنا المتغير X خلال دورة كاملة و كانت صفر كانت دالة الحالة

هذه المعادلة تشير إلى انه أذا أخذنا المتغير X خلال دورة كاملة و لا يهم المسار خلال تلك الدورة فان قيم X تعتمد على الحالة.
وكذلك الحال بالنسبة إلى الحجم فإذا كاملناه خلال دورة كاملة ابتدءا من V1 مرورا بالنقاط (2, 3, 4, 5, ......) رجوعا إلى الحجم الأصلي فان التكامل المغلق


أي إن الحجم يعود إلى نفس قيمته الأصلية عند الوصول إلى حالته الابتدائية و يقال للتفاضل dV آنذاك انه تفاضل تام. هنالك شرط رياضي آخر يمكن الاستفادة منه في فحص الخواص أو المتغيرات فيما إذا كانت دوال للحالة أم لا.
نأخذ تفاضل المتغير V

---------------(1)
هذه المعادلة يمكن كتابتها كما يلي:-

----------------(2)

Where , ------------(3)

من معادلة (3) نحصل على
, -------(4)
من المعادلة (4) نستنتج ان:-
----------------(5)

هذه المعادلة تمثل الشرط اللازم لكي يكون التفاضل dV هذا يعني أن المتغير Vهو دالة للحالة و ليس دالة للمسار أي إن قيمة V تعتمد على حالة الكيان فقط. اثبت مثلا أن P دالة للحالة فقط

مثالغ
لدينا غاز مثالي برهن ان حجمه هو دالة لحالة الغاز أي ان تفاضل الحجم هو تفاضل تام
---------(1)
ولمول واحد من الغازات
---------(2)

التغير الكلي في V نتيجة التغير في كل من T,P هو:-
----(3)
باستخدام المعادلتين 2و3 نحصل على

بمقارنة هذه المعادلة مع

نحصل على

من هذه العلاقات

وهذه المعادلة تتفق مع الشرط اللازم لكي ويكون dV تفاضل تام وهذا يعني إن V دالة حالة.