احصاء5

تطبيقات إحصاء ماكسويل بولتزمان:

استنتاج قانون التوزيع لبولتزمان الحراري:-
لو أخذنا غاز درجة حرارته T وفي حالة اتزان حراري و لنركز على مستويين للطاقة احدهما طاقته Eo و الآخر Ei وعدد الجزيئات في المستوي Eo هو No و درجة انحلاله go¬ و المستوي Ei عدد الجزيئات فيه Ni و درجة انحلاله gi عند تطبيق معادلة ماكسويل بولتزمان بالنسبة للمستوي Eo نحصل على :-
For Eo -----------(I)
For Ei ----------(II)
وبقسمة المعادلة (II) على المعادلة (I) نحصل على:-




وهذا هو الشكل العام لقانون ماكسويل بولتزمان للتوزيع الحراري
وفي حالة خاصة عندما gi=go يصبح القانون بالشكل التالي:-












دالة التقسيم أو دالة بولتزمان الكلاسيكية:-
إن دالة التقسيم توجد فقط في إحصاء ماكسويل بولتزمان الكلاسيكي و لا توجد في إحصاء الكم و هي تعتبر كحلقة وصل أو جسر يربط بين المفاهيم الإحصائية و المفاهيم الثرموديناميكية و يمكن التعبير عن الدوال الثرموديناميكية كالطاقة الداخلية و الانتروبي و الضغط و غيرها بدلالة دالة التقسيم و سنوضح فيما يلي بعض الأمثلة:-
التعبير عن الطاقة الداخلية U بدلالة دالة التقسيم
تعرف U بالعلاقة و باستخدام ماكسويل بولتزمان:-
]|

و بإعادة ترتيب المعادلة :-
---------------(1)
و من تفاضل بالنسبة إلى درجة الحرارة و بثبوت الحجم نحصل على:-


Or -------------(2)
و من المعادلتين (1) و (2) نحصل على :-


Or


كذلك يمكن التعبير عن الانتروبي و ضغط الغاز بدلالة


التفسير الإحصائي للشغل و الحرارة

في حالة الاتزان لعدد كبير من الجسيمات ( N ) الغير متميزة و الشبه مستقلة في حيز صغير مكعب الشكل حجمه V و طول حرفه a فان توزيع الطاقة للجسيمات يمثل بالمعادلة:-



فإذا ثبتنا ni2 و أخذنا لوغاريتم الطرفين لمستوي الطاقة Ei نحصل على:-

و بأخذ المشتقة للطرفين


ولكن


و لدينا للغاز المثالي




أي أن تغير الحجم المسبب للشغل يؤدي إلى تغير قيمة طاقة مستويات الطاقة بدون أن يؤثر على عدد نفوس تلك المستويات.
وبما أن :-

-----------------(2)
و من معادلة (1) و (2) نحصل على:-



أي أن التغيرات الحرارية تؤدي إلى تغيرات في توزيع الجسيمات بين مستويات الطاقة بدون تغير في قيمة طاقة تلك المستويات.