الاهتزاز الشبيكي في بعد واحد

الاهتزاز الشبيكي في بعد واحد
نفترض لدينا سلسلة خطية مؤلفة من ذرة واحدة في الخلية البدائية وتمثل هذه الحالة كلاسيكيا بكتل متماثلة تحتل عقد الشبكة البلورية ، ويبين الشكل (1) كما لو كانت تلك الكتل متصلة مع بعضها البعض بزنبركات مرنة مهملة الكتلة ثابت مرونتها C ، وللتبسيط يؤخذ تفاعل الجوار المباشر فقط بين الذرات ويفرض أن الذرة الثانية والثالثة والرابعة .......تأثيرها مهمل على الذرة الأصل(n)


ومن أجل الإزاحات الصغيرة حول وضع التوازن يؤخذ ما يسمى بالتقريب التوافقي (الهزازة التوافقية) وبالتالي فان القوة المؤثرة على الذرة (n) في الشكل (1) هي عبارة عن محصلة قوتين الأولى في الاتجاه الموجب من خلال تطبيق قانون هوك حيث الأحرفun-1 , un+1, un, تمثل الانزياح الموافق لموضع الذرة n , n+1, n-1 وتعطى بالعلاقة:

والقوة الثانية المؤثرة على الذرة n من قبل الذرة n-1 في الاتجاه السالب تعطى بالعلاقة:

ومحصلة القوى المؤثرة على الذرة n هي مجموع العلاقتين السابقتين:

وبتطبيق قانون نيوتن الثاني للحركة نجد من العلاقة (3):

تمثل المعادلة (4) معادلة تفاضلية من المرتبة الثانية ،ويجب الانتباه إلى أن كل ذرة من ذرات الشبكة لها المعادلة (4) فإذا كان عدد الذرات N ذرة فيكون لدينا N معادلة تفاضلية مرتبطة من المرتبة الثانية بحاجة إلى حل متزامن مع تطبيق الشروط الحدية والتي يجب أن تؤخذ بالحسبان وخصوصا الذرة الأخيرة.
ولحل هذا العدد اللانهائي (البلورة المثالية) من المعادلات نأخذ بالحسبان أن معادلة الحل يجب أن لا تتبدل عند الموضع xn= na حيث a ثابتة الشبكة البلورية (شرط الدورية) ولهذا الغرض نبحث عن حل من الشكل:

المعادلة (5) تمثل معادلة موجة مستوية جارية (مستعرضة)(traveling ) حيث كل الذرات تهتز بنفس التردد w وبنفس السعة A ولها العدد ألموجي q وذلك لان شرط متجهة الانسحاب محقق.
نعوض المعادلة (5) في المعادلة (4) مع الانتباه أثناء الاشتقاق مرتين ووضع xn+1=a(n+1) وكـــذلك xn-1=a(n-1) ونحصل على المعادلة التالية:

وبالاستفادة من العلاقة المثلثية (إذا اعتبرنا أن =qa? (التالية:

نعوض (7) في (6) فنجد :

تسمى العلاقة (8) علاقة التبدد أو التشتتdispersion law)) وهي تربط بين تردد الاهتزازة w والعدد ألموجي q وتوافق الإشارتان الموجبة والسالبة انتشار الأمواج من اليسار إلى اليمين أو العكس.تتمتع علاقة التبدد(8) بالميزات التالية:

اولا: منطقة بريليون الأولى
أ‌- يبن الشكل (2) تمثيل للعلاقة (8) w=f(q) ويلاحظ أن التردد w يتبع لقيم ((sin?=sin qa/2 ويكــرر نفسه كلما انتقلنا بزاويــــــة ( ) أي
( ) وهذا يعني أننا إذا استبدلنا q بـ q+2?/a في العلاقة(5) و(8) فلن تتبدلا والحلول تكون متطابقة فيزيائيا، وبالتالي فان الحلول جميعها متطابقة في المناطق التي تحقق الشرط q+2?n/a ،ولذلك تتم الدراسة في المجال من –?/aإلى +?/a والتي تمثل منطقة بريلوان الأولى وهذا ما يوضحه الشكل(2).

الشكل(2) : اهتزازات الشبكة الخطية ضمن منطقة بريلوان الأولى
ويلاحظ من العلاقة (8) أن أكبر قيمة لجيب الزاوية هو الواحد وعند هذه القيمة يكون التردد الزاوي اكبر ما يمكن أي:

بسبب المعنى الفيزيائي للتردد w (طاقة الفونون موجبة في الحالة المستقرة)فإننا نأخذ القيم الموجبة ، وهو متناظر بالنسبة لمبدأ الإحداثيات ويتبع قيم q الموجبة والسالبة أي [w(q)=w(-q)] انظر الشكل (2)، وهذا يعني أنه

عندما تكون q موجبة فان الموجة تجري في الشبكة في الاتجاه الموجب ،وعندما تكون q سالبة فإن الموجة تجري في الاتجاه السالب للمحور المفروض.
لاحظ أن اكبر ترددwmax يتوافق مع أكبر قيمة للعدد ألموجي
(n=1? qmax= ?/a ??n/a=qmax ) ومع اصغر طول موجي ?min = 2?/qmax = 2a أي لا يوجد أطوال موجية أصغر من 2a حيث a البعد الشبكي. وهذا يتوافق مع معادلة براغ للحيود 2d sin?=n? ، فعندما /2 ?=? و d=a و q=2?/? و n=1 نجد أن ?=2a .
وعلى حدود منطقة بريلوان (qmax=±?/a) فان المعادلة (5) لا تمثل موجة جارية(مستعرضة) ولكن الحل يمثل موجة موقوفة (standing wave) لها الشكل التالي:

وتشير هذه العلاقة إلى أن الذرات المتجاورة تهتز على التعاكس في الاتجاه وذلك حسب قيم n الزوجية والفردية مما يسبب إلى نشوء الموجة الموقوفة،والسبب في ذلك أن الأمواج على حدود منطقة بريلوان تخضع لشرط براغ في الحيود أي يحصل انعكاس للموجة الواردة(الساقطة) مما يؤدي إلى تداخل الأمواج الواردة مع الأمواج المنعكسة ولتشكل أمواج موقوفة(مستقرة)وبمعنى أخر عندما لا تستطيع الموجة الجارية من الانتشار في الشبكة إلا من خلال الانعكاسات المتتالية ذهابا وإيابا على حدود منطقة بريلون عندئذ تنشأ الموجة الواقفة .




ثانيا :سرعة الطور وسرعة المجموعة Vp , Vg
تعطى علاقة سرعة الطور والتي تمثل سرعة انتشار الموجة المستوية بالعلاقة التالية:

وتعطى سرعة المجموعة والتي تمثل سرعة حزمة الموجة وهي سرعة انتشار الطاقة في الوسط بالعلاقة التالية:

بتعويض العلاقة (8) في (11) وضرب البسط والمقام بـ a وقسمة البسط والمقام على 2 نجد سرعة الطور:

وباشتقاق العلاقة (8) بالنسبة لـ q نجد سرعة المجموعة:

تشير العلاقة (14) أنه على حدود منطقة بريلوان q=±?/a فان سرعة المجموعة تساوي الصفر ولا يتم انتشار للطاقة. في حين أن العلاقة (13) تنتهي إلى القيمة( ).
وتشير العلاقة(13) و(14) أنه من أجل الأمواج الطويلة جدا فإن العدد ألموجي ينتهي إلى الصفر(q=2?/??0) وعندئذ فإن سرعة الطور vpوسرعة المجموعة vg يكون لهما نقس القيمة ( ) وهذا ما يعادل سرعة الصوت انظر الشكل(7).
ثالثا :حدود الطول ألموجي الطويل:
في حال الأمواج الطويلة والتي تكون فيها (a<




نعوض العلاقة (15) في (8) فنجد:


تشير العلاقة (16) أن التردد يتناسب طردا مع العدد ألموجي في حال الأمواج طويلة الموجة وثابت التناسب يكافئ سرعة الصوت المستقلة عن التردد عند تلك الحدود:


تشير العلاقة(17) أن سرعة الطور تساوي سرعة الصوت في حال ثابت الشبكية a تنتهي إلى الصفر (a?0) وهذا يعني أن الوسط أصبح مستمرا(الأوتار كوسط مستمر) وتتحرك الذرات التي أصبحت متلاصقة كما لو أنها وتر مهتز ويعرف هذا النوع من الاهتزازات بالاهتزازات الصوتية ذات الطول ألموجي الطويل.