lec-20

أولا: الإحصاء الكلاسيكي أو إحصاء ماكسويل بولتزمان:-
ينطبق هذا النوع من الإحصاء على الجسيمات عند إهمال تأثير الكم مثل الغازات عند الضغوط المنخفضة أو الالكترونات عند درجات الحرارة العالية و غيرها. لنأخذ على سبيل المثال ذرات غاز يتواجد في وعاء معزول و حجمه ثابت و مقفل أي لا يوجد تبادل جسيمات أو الطاقة مع المحيط و في حالة توازن حراري.










و لنفرض ان مستويات طاقة المنظومة تتراوح بين E1 إلى Em و لنأخذ على سبيل المثال المستوي الذي طاقته Ei و الذي عدد الجسيمات فيه Ni و يمتلك gi من الحالات وحسب الاحصاء الكلاسيكي فلايوجد تحديد لعدد الجسيمات التي تشغل نفس الحالة. اذن كل جسيم يمكن ان يتواجد في أي حالة من الحالات gi . بذلك يكون عدد التوزيعات الممكنة للجسيمات التي عددها Ni في مستوي الطاقة Ei هو:-

الوزن الاحصائي

هذا في حالة الجسيمات المتميزة. اما اذا كانت الجسيمات متماثلة فيجب ان تقسم على Ni! :-

للجسيمات المتشابهة
وتسمى هذه المعالجة شبه الكلاسيكية حيث أن النتائج تكون خالية من التناقض فيما يتعلق بالأنتروبي. و بذلك يكون عدد التوزيعات لجميع جسيمات المنظومة و لجميع مستويات الطاقة هو ?:-



------------(1)
وبصورة مختصرة تكتب :-
-----------(2)
وتسمى ? :- بالاحتمالية الثرموديناميكية و هي تمثل عدد الحالات المجهرية التي تعود لنفس الحالة المنظورة و عندما تكون قيمة ? كبيرة هذا يعني أن احتمالية تواجد المنظومة في الحالة المنظورة التي تعود لها ? تكون كبيرة أيضا. و تأخذ ? قيمة عظمى في حالة الأتزان. و في هذه الحالة يكون و كما بينا سابقا :-

d Ln ?=0 for ?max

و بإيجاد لوغاريتم طرفي المعادلة (2) نحصل على:-





For ?max

Or ---------(3)
ولما كانت المتغيرات (dNi) ليست جميعها متغيرات مستقلة كما سنبين لاحقا و لذلك لايمكن القول بان معاملاتها تساوي صفر. و تخضع المتغيرات (dNi) للشرطين أو القيدين التاليين:-

أولا- بما أن المنظومة مقفلة فان عدد الجسيمات الكلي (N) يكون ثابت أي أن :-

و من التفاضل نحصل على :-
----------(4)
ثانيا- لما كانت المنظومة معزولة حراريا فان الطاقة الداخلية للمنظومة (U) تكون ثابتة أي أن:-

----------(5)
وبضرب طرفي المعادلة (4) بالثابت (?) و المعادلة (5) بالثابت (-?) فنحصل على

-----------(6)
-----------(7)
وبجمع طرفي المعادلات (3و6و7) نحصل على:-
-----------(8)
و بأختيار مناسب لقيم ?,? يمكن جعل معاملات المتغيرات dNi تساوي صفر أي أن:-

وتسمى هذه الطريقة التي اتبعناها طريقة لاكرانج للمضاعفات غير المحددة

Or
وبترتيب المعادلة الأخيرة نحصل على:-
-------------(9)
و المعادلة (9) تمثل إحصاء ماكسويل بولتزمان و ينقصه معرفة قيم ? و ?.